江西省抚州市2015—2016学年高二上学期期末质量检测试题数学（理） Word版含答案人教版

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（本题满分12分）
已知数列,,,…,,…,计算、、、，根据计算结果,猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明.
20.（本题满分12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t该产品获利润元,未售出的产品,每t亏损元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了t该农产品,以(单位:t,)表示下一个销售季度内的市场需求量,(单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润（1）将表示为的函数;（2）根据直方图估计利润不少于57000元的概率;（3）在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若,则取,且的概率等于需求量落入的概率),求利润的平均值.

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（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，且，.

(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

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（本小题满分12分）已知椭圆C:离心率，短轴长为．?
（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．

2015-2016学年抚州市上学期高二年级期末质量检测
数学试题参考答案（理科）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

C
B
A
B
B
D
C
C
D
D
D
C

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
15.16.③④
三、解答题：(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).
17.解：由，解得，为.........4分
对于由题意知或.........8分
若且是真命题则.........10分
18.（1）取出球的号码之和不小于6的频数为：15
.........6分
(2)点落在直线上方的有：（1，3），（1，4），（1，5），
（2，4），（2，5），（3，5）；共种.所以：.........12分
19.分析本题考查观察、分析、归纳、发现规律的能力,考查数学归纳法在等式证明中的应用.在用观察法求数列的通项公式时,要注意观察项与项数的关系.
解==;
=+=;
=+=;
=+=.
可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.于是可以猜想..........5分
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当n=1时,左边=S1=,
右边===,
猜想成立..........7分
(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即
+++…+=,
那么,+++…++

所以,当n=k+1时猜想也成立.
根据(1)、(2),可知猜想对任何n∈N*都成立..........12分
20.（1）当时，，
当时，，
..........4分
（2）由（1）知利润不少于57000即为：，
由直方图可知需求量的频率为，
利润不少于57000元的概率估计值为..........8分
（3）的平均值为..........12分
21.解：（1）取中点，连结，，，，
又平面平面，，，，
即，得，则，，
............6分
（2）方法一：分别以为轴，建立空间直角坐标系.
得，
，，设平面的法向量.
由得方程组，取，得.
，.
故直线与平面所成角的正弦值为...........12分
方法二：设点到平面的距离为，作，
则，

直线与平面所成角的正弦值为.
22．解.（1）由短轴长为，得，
由，得．
∴椭圆的标准方程为．.........4分
（2）以为直径的圆过定点．
证明如下：设，则，且，即，
∵，∴直线方程为：，∴
直线方程为：，∴，
以为直径的圆为
【或通过求得圆心，得到圆的方程】
即，
∵，∴，
令，则，解得.
∴以为直径的圆过定点．.........12分]">