第一章集合与简易逻辑

一、基础知识
定义1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。
定义2子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
定义3交集，
定义4并集，
定义5补集，若称为A在I中的补集。
定义6差集，。
定义7集合记作开区间，集合
记作闭区间，R记作
定理1集合的性质：对任意集合A，B，C，有：
（1）（2）；
（3）（4）
【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即
（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有
定理2加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
定理3乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
二、方法与例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1设，求证：
（1）；
（2）；
（3）若，则
[证明]（1）因为，且，所以
（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以
（3）设，则

（因为）。
2．利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则A=B。
例2设A，B是两个集合，又设集合M满足
，求集合M（用A，B表示）。
【解】先证，若，因为，所以，所以；
再证，若，则1）若，则；2）若，则。所以
综上，
3．分类讨论思想的应用。
例3，若，求
【解】依题设，，再由解得或，
因为，所以，所以，所以或2，所以或3。
因为，所以，若，则，即，若，则或，解得
综上所述，或；或。
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