提能训练 练案[10]
A组基础巩固
一、单选题
1．下列结论中，正确的是( )
A．若a>0，则a·a＝a
B．若m8＝2，则m＝±
C．若a＋a－1＝3，则a＋a－＝±
D.＝2－π
[答案] B
[解析] 对于A，根据分数指数幂的运算法则，可得a·a＝a＋＝a，当a＝1时，a＝a，当a≠1时，a≠a，故A错误；
对于B，m8＝2，故m＝±，故B正确；
对于C，a＋a－1＝3，则(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为a>0，所以a＋a－＝，故C错误；
对于D，＝|2－π|＝π－2，故D错误．
2．(2025·衡阳一中模拟)若2x＝9,4y＝6，则4x－2y＝( )
A.B．
C．D．
[答案] C
[解析] 2x＝9,22y＝6，则4x－2y＝22(x－2y)＝2＝.
3．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a＝( )
A.B．1
C．D．2
[答案] D
[解析] 由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝.当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当a＝时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，∴a＝2.
4．已知a＝31.2，b＝1.20，c＝－0.9，则a，b，c的大小关系是( )
A．a0.9>0，
所以31.2>30.9>30＝1，即a>c>b.
5．下列函数中，值域是(0，＋∞)的为( )
A．y＝B．y＝x
C．y＝D．y＝3
[答案] B
[解析] 函数y＝的值域为[0，＋∞)；
函数y＝x的值域为(0，＋∞)；
函数y＝的值域为[0,1)；
函数y＝3的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．故选B.
6．(2025·盐城模拟)设函数f(x)＝3x＋b，函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为( )
A.B．
C.D．
[答案] A
[解析] 由函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、三、四象限，可得b0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为.故选A.
7．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝，则对任意实数x，有( )
A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝0
C．f(－x)＋f(x)＝1D．f(－x)－f(x)＝
[答案] C
[解析] 因为f(x)＝，
所以f(－x)＝＝＝，
所以f(－x)＋f(x)＝＋＝＝1，
f(－x)－f(x)＝.故选C.
一题多解：若对任意实数x，使得选项中式子成立，则可任取x值，代入验证，进行排除．当x＝0时，f(0)＋f(0)＝＋＝1，f(0)－f(0)＝0，故A，D选项错误．当x＝1时，f(－1)－f(1)＝－≠0，故B选项错误．根据排除法可知选C.
8．已知a>0且a≠1，若函数y＝xa－1在(0，＋∞)内单调递减，则在不等式a3x＋1>a－2x中，x的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D．R
[答案] A
[解析] ∵函数y＝xa－1在(0，＋∞)内单调递减，∴a－10且a≠1，∴0a－2x，∴3x＋10且a≠1，则函数f(x)＝ax－2a的图象可能是( )

[答案] AD
[解析] 由于当x＝1时，f(1)＝a－2a＝－a0，a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)＝n－mx的图象不经过第________象限．
[答案] 三
[解析] 易知f(x)的图象恒过定点(2,2)，所以m＝n＝2，所以g(x)＝2－2x，所以g(x)为减函数，且其图象过点(0,1)，(1,0)，所以g(x)的图象不经过第三象限．
14．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a＝________.
[答案] 或
[解析] 当01时，a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．综上所述，a＝或a＝.
四、解答题
15．(2025·吉林汪清第六中学月考)已知函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0,1)，B(3，8)．
(1)求实数k，a的值；
(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
[解析] (1)由已知得解得
(2)g(x)＝，定义域为R，因此
g(－x)＝＝＝＝－g(x)，
所以g(x)＝为奇函数．
16．已知定义在R上的奇函数f(x)＝a×3x＋3－x，a为常数．
(1)求a的值；
(2)用单调性定义证明f(x)在[0，＋∞)上是减函数；
(3)解不等式f(x－1)＋f(2x＋3)x2≥0，则f(x1)－f(x2)＝3x2－3x1＋3－x1－3－x2，
∵x1>x2≥0，∴－x11－x，
解得x>－.
∴原不等式的解集为.
B组能力提升
1．(2024·许昌四校联考)设a，b满足0ab，A错误；指数函数y＝bx(0bb，B错误；幂函数y＝xa(0ab，D错误．
2．(2024·辽宁名校联盟调研)若函数f(x)＝3－2x2＋ax在区间(1,4)内单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，4]B．[4,16]
C．(16，＋∞)D．[16，＋∞)
[答案] A
[解析] 设f(u)＝3u，u＝－2x2＋ax，则f(u)＝3u在(－∞，＋∞)上单调递增．
因为f(x)＝3－2x2＋ax在区间(1,4)内单调递减，所以函数u＝－2x2＋ax在区间(1,4)内单调递减，(同增异减)
结合二次函数的图象和性质，可得≤1，解得a≤4.故选A.
3．(多选题)(2024·江苏南京、盐城一模)已知x，y∈R，且12x＝3,12y＝4，则( )
A．y>xB．x＋y>1
C．xyx，A正确；
∵x＋y＝log123＋log124＝log1212＝1，∴B错误；
∵x>0，y>0，∴xy≤2＝，当且仅当x＝y时等号成立，
而x0的解集为( )
A.∪(1，＋∞)
B.
C.
D．(1，＋∞)
[答案] A
[解析] f(x)＝|3x－3－x|的定义域为R，f(－x)＝|3－x－3x|＝|3x－3－x|＝f(x)，故y＝f(x)为偶函数．
当x>0时，y＝3x，y＝－3－x均为增函数，
故g(x)＝3x－3－x为(0，＋∞)上的增函数，
又g(0)＝0，故当x>0时，g(x)>0，则y＝f(x)＝g(x)为(0，＋∞)上的增函数，故x0，即f(2x－1)>f(x)，则|2x－1|>|x|，即(2x－1)2>x2,3x2－4x＋1>0，解得x∈∪(1，＋∞)．故选A.
5．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若存在x∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)0，
则函数f(x)是减函数．
(3)因为存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)2t2－4t，所以k>t2－4t，
令g(t)＝t2－4t＝(t－2)2－4，
由题意可知，问题等价转化为k>g(t)min，
又因为g(t)min＝g(2)＝－4，所以k>－4，
即实数k的取值范围为(－4，＋∞)．
C组拓展应用(选作)
(2025·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________.
[答案]
[解析] ∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，
∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，
∴3－x0＋m－1＝－3x0－m＋1，
∴2m＝－3－x0－3x0＋2，
构造函数y＝－3－x0－3x0＋2，x0∈[－1,1]，
令t＝3x0，t∈，
则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，在(1,3]上单调递减，
∴当t＝1时，函数取得最大值0.
当t＝或3时，函数取得最小值－，
∴m的取值范围为，
又∵m≠0，∴m的取值范围为.

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