提能训练 练案[11]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2025·河西区模拟)计算2log32－log3＋(－1)0＋log38－25log53＝( )
A．－7B．－3
C．0D．－6
[答案] D
[解析] 原式＝log34－log3＋log38＋1－52log53＝log3＋1－5log59＝log39＋1－9＝－6.
2．函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是( )
A.B．
C.D．
[答案] C
[解析] 函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是，即.
3．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞)B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)
[答案] D
[解析] 函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D.
4．已知函数f(x)＝log0.5(x4－4x2＋6)，则( )
A．f(x)有最小值，且最小值为－2
B．f(x)有最小值，且最小值为－1
C．f(x)有最大值，且最大值为－2
D．f(x)有最大值，且最大值为－1
[答案] D
[解析] f(x)＝log0.5(x4－4x2＋6)＝log0.5[(x2－2)2＋2]≤log0.52＝－1，所以f(x)有最大值，且最大值为－1，但无最小值．
5．设a＝5－0.7，b＝log，c＝lg，则这三个数之间的大小关系是( )
A．a>b>cB．a>c>b
C．b>c>aD．b>a>c
[答案] D
[解析] 结合函数y＝5x，y＝logx，y＝lgx的图象易知0log＝1，c＝lg0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为( )


[答案] D
[解析] 由函数y＝ax的图象可判断出a>1.
当a>1时，y＝logax的图象经过定点(1,0)，且为增函数，
因为y＝logax与y＝loga(－x)的图象关于y轴对称，
所以y＝loga(－x)的图象经过定点(－1,0)，为减函数．
而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的图象向右平移1个单位长度得到的．
所以f(x)＝loga(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．
7．已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称，g(x)为奇函数，且当x>0时，g(x)＝f(x)－x，则g(－8)等于( )
A．－5B．－6
C．5D．6
[答案] C
[解析] 由已知，函数y＝f(x)与函数y＝2x互为反函数，则f(x)＝log2x.由题设，当x>0时，g(x)＝log2x－x，则g(8)＝log28－8＝3－8＝－5.因为g(x)为奇函数，所以g(－8)＝－g(8)＝5.
8．(2024·南京模拟)苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550—1617)发明的对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即就是任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤abB．a>b
C．loga>logbD．loga>logb
[答案] AC
[解析] 因为a>b，b>b，所以a>b，故A正确；
因为alogb，logb>logb，所以loga>logb，故C正确；
因为loga0)，则loga＝________.
[答案] 4
[解析] ∵a＝＝3(a>0)，∴a＝，
∴a＝4，∴loga＝4.
13．(2024·云南玉溪模拟)f(x)＝(loga)x在R上为减函数，则实数a的取值范围是________.
[答案]
[解析] ∵f(x)＝(loga)x在R上为减函数，
∴00且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(2)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围．
[解析] (1)f(x)是奇函数，证明如下：
因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
所以
解得－11时，y＝loga(x＋1)是增函数，
y＝loga(1－x)是减函数，
所以当a>1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
f(x)>0即loga(x＋1)－loga(1－x)>0，
loga>0，>1，>0，
2x(1－x)>0，解得00的x的取值范围为(0,1)．
16．已知函数f(x)＝log2.
(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
(2)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
[解析] (1)若函数f(x)是R上的奇函数，
则f(0)＝0，
∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.
当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数．
∴a＝0.
(2)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.
由题设得log2(1＋a)－log2≥2，
则log2(1＋a)≥log2(4a＋2)．
∴解得－0，且a≠1)的图象可能是( )

[答案] C
[解析] 因为函数y＝loga(－x)的图象与函数y＝logax的图象关于y轴对称，
所以函数y＝loga(－x)的图象恒过定点(－1,0)，故A，B错误；
当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减，
而y＝(a>1)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，故D错误，C正确．
2．(2024·哈尔滨一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中乙醇含量大于或等于20mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的乙醇含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中乙醇含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(结果取整数，参考数据：lg3＝0.48，lg7＝0.85)( )
A．1B．2
C．3D．4
[答案] D
[解析] 设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×(1－30%)xlog0.7＝＝＝＝＝3.2.所以他至少经过4小时才能驾驶．故选D.
3．(2025·浙江名校协作体返校联考)已知函数y＝log2(ax2－x)在区间(1,2)上单调递增，则a的取值范围为( )
A.B．
C.D．[1，＋∞)
[答案] D
[解析] 因为函数y＝log2(ax2－x)在区间(1,2)上单调递增，y＝log2x为增函数，所以函数y＝log2(ax2－x)在区间(1,2)上有意义，且y＝ax2－x在(1,2)上单调递增，
所以a≠0，则或
解得a≥1，所以a的取值范围为[1，＋∞)．故选D.
4．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a＝________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________.
[答案] [－1，＋∞)
[解析] 当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上单调递减，
∴无解；当00且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)若f＝2，求使f(x)>0成立的x的集合．
[解析] (1)要使函数有意义，则
解得－10，则log2(x＋1)>log2(1－x)，
∴x＋1>1－x>0，
解得0k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
[解析] (1)h(x)＝(4－2log2x)log2x
＝2－2(log2x－1)2.
因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，
因为x∈[1,4]，
所以t＝log2x∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当...