提能训练 练案[15]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2025·北京海淀期中)已知f(x)＝，则f′＝( )
A．1B．2
C．－1D．－2
[答案] B
[解析] 因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝，所以f′＝＝2，故选B.
2．函数f(x)＝x(ex－1)＋lnx的图象在点(1，f(1))处的切线方程是( )
A．y＝2ex－e－1B．y＝2ex－e＋1
C．y＝2ex＋e－1D．y＝2ex＋e＋1
[答案] A
[解析] 由函数f(x)＝x(ex－1)＋lnx知f(1)＝e－1，f′(x)＝ex－1＋xex＋，所以切线的斜率k＝f′(1)＝2e，在点(1，f(1))处的切线方程是y－(e－1)＝2e(x－1)，化简得y＝2ex－e－1.故选A.
3．(2024·浙江绍兴二模)函数f(x)＝x＋alnx在点(1,1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝( )
A．1B．2
C．－1D．－2
[答案] A
[解析] f′(x)＝1＋，则f′(1)＝1＋a，因为函数f(x)在点(1,1)处的切线与直线y＝2x平行，所以f′(1)＝1＋a＝2，解得a＝1，故选A.
4．(2024·河北保定三模)曲线f(x)＝ex－3x在点(0，f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A．B．
C．D．
[答案] C
[解析] 由f(x)＝ex－3x，得f′(x)＝ex－3，则f(0)＝1，f′(0)＝－2，所以曲线f(x)＝ex－3x在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－2x＋1.令y＝0，得x＝，令x＝0，得y＝1，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为××1＝.故选C.
5．(2025·江西景德镇质检)过点A(0,1)且与曲线f(x)＝x3＋2x－1相切的直线方程是( )
A．y＝5x＋1B．y＝2x＋1
C．y＝x＋1D．y＝－2x＋1
[答案] A
[解析] f′(x)＝3x2＋2，点A不在曲线上，由已知可求得切线过点(－1，－4)，得直线方程为，y＝5x＋1，故选A.
6．函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )

A．2f′(2)0，f′(4)>0，f(4)－f(2)>0，由此可知，f′(x)在(0，＋∞)上恒大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以f′(x)单调递增，所以f′(2)0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] 因为y＝alnx＋x2(a>0)，所以y′＝＋2x≥2，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，因为＝2，所以a＝.
8．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A．B．
C．D．
[答案] A
[解析] f′(x)＝，则f′(0)＝＝3，即该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S＝×1×|－|＝.故选A.
二、多选题
9．(2023·珠海调考改编)下列求导运算不正确的是( )
A．′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3x·log3e
D．(x2cosx)′＝－2xsinx
[答案] ACD
[解析] 因为′＝1－，所以选项A不正确；因为(log2x)′＝，所以选项B正确；因为(3x)′＝3xln3，所以选项C不正确；因为(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以选项D不正确．故选ACD.
10．若直线y＝x＋b是函数f(x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是( )
A．f(x)＝B．f(x)＝x4
C．f(x)＝sinxD．f(x)＝ex
[答案] BCD
[解析] 直线y＝x＋b的斜率k＝，f(x)＝的导数为f′(x)＝－，即切线的斜率小于0，故A不正确；f(x)＝x4的导数为f′(x)＝4x3，令4x3＝，解得x＝，故B正确；f(x)＝sinx的导数为f′(x)＝cosx，而cosx＝有解，故C正确；f(x)＝ex的导数为f′(x)＝ex，令ex＝，解得x＝－ln2，故D正确．故选BCD.
11．(2022·新高考8省联考)已知函数f(x)＝xln(1＋x)，则( )
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)有两个零点
C．曲线y＝f(x)在点处的切线的斜率为－1－ln2
D．f(x)是偶函数
[答案] AC
[解析] f(x)＝xln(x＋1)，所以当x>0时，f′(x)＝ln(x＋1)＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以A正确；
令xln(x＋1)＝0，所以x＝0或ln(x＋1)＝0，所以x＝0，故f(x)只有1个零点0，所以B不正确；
f′(x)＝ln(x＋1)＋，所以f′＝ln－1＝－1－ln2，所以C正确；
定义域不关于原点对称，所以f(x)不是偶函数，所以D不正确．故选AC.
三、填空题
12．(2025·北京师大附中月考)曲线f(x)＝xex＋2在点(0，f(0))处的切线方程为____________.
[答案] x－y＋2＝0
[解析] 因为曲线f(x)＝xex＋2，所以f′(x)＝ex＋xex，将x＝0带入曲线中可得f(0)＝2，带入导函数中可得f′(0)＝e0＝1，所以曲线f(x)＝xex＋2在点(0,2)处的切线方程为y－2＝x，即x－y＋2＝0.
13．(2025·陕西适应性检测)若直线y＝－2x＋与曲线y＝x3－ax相切，则a＝________.
[答案] 3
[解析] 设直线y＝－2x＋与曲线y＝x3－ax相切于点，由y＝x3－ax得y′＝x2－a，∴x－a＝－2，∴a＝x＋2，又x－ax0＝－2x0＋，∴x－x0(x＋2)＝－2x0＋，解得x0＝－1，∴a＝1＋2＝3.
14．(2024·贵州模拟)过点P(1，－3)作曲线y＝2x3－3x的切线，请写出切线的方程____________或____________.
[答案] 3x＋y＝0 21x－2y－27＝0
[解析] 设切点为(a,2a3－3a)，而f′(x)＝6x2－3，所以切线的斜率k＝f′(a)＝6a2－3，故切线方程为y－(2a3－3a)＝(6a2－3)(x－a)，因为切线过点(1，－3)，∴－3－(2a3－3a)＝(6a2－3)(1－a)，化简可得a＝0或a＝，则切点为(0,0)或，则代入得切线方程为：3x＋y＝0或21x－2y－27＝0.
15．(2025·辽宁期中)已知直线y＝x＋t是曲线y＝ln(x－1)和y＝ax2－3x的公切线，则a＋t的值为________.
[答案] 0
[解析] 令f(x)＝ln(x－1)，则f′(x)＝，因为直线y＝x＋t是曲线y＝ln(x－1)的切线，所以由f′(x)＝＝1解得x＝2，此时f(2)＝ln1＝0所以f(x)在(2,0)处的切线为y＝x－2，所以t＝－2，又y＝x－2是y＝ax2－3x的切线，联立得ax2－4x＋2＝0，令Δ＝16－8a＝0解得a＝2，所以a＋t＝0.
B组能力提升
1．(2024·广西开学考试)曲线f(x)＝lnx＋2x＋3在A点处的切线与直线x＋3y－2＝0垂直，则切线方程为( )
A．x＋3y＋2＝0B．3x－y－1＝0
C．x－3y＋2＝0D．3x－y＋2＝0
[答案] D
[解析] 由f(x)＝lnx＋2x＋3，得f′(x)＝＋2，x>0，设A(t，lnt＋2t＋3)，t>0，则f′(t)＝＋2，由题意可得，直线x＋3y－2＝0的斜率为－，所以曲线f(x)在过点A处的切线的斜率为3，所以f′(t)＝＋2＝3，解得t＝1，则可得切点A(1,5)，所以切线方程为y－5＝3(x－1)，即3x－y＋2＝0.故选D.
2．(2024·湖南长沙二模)已知m>0，n>0，直线y＝x＋m与曲线y＝2lnx－n＋4相切，则＋的最小值是( )
A．4B．3
C．2D．1
[答案] D
[解析] 由于直线y＝x＋m与曲线y＝2lnx－n＋4相切，设切点为(x0，y0)，且y′＝，所以＝，则切点的横坐标x0＝e，则2＋m＝2－n＋4，即m＋n＝4.又m>0，n>0，所以(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋≥1，当且仅当m＝n＝2时取等号，所以＋的最小值为1.故选D.
3．(2023·四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )

A．00)，由y′＝2x－(x>0)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，x＝1，...