提能训练 练案[16]
A组基础巩固
一、单选题
1．函数f(x)＝xlnx＋1的单调递减区间是( )
A．B．
C．D．(e，＋∞)
[答案] C
[解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋lnx，
令f′(x)0时，f′(x)＝ex－e－x＋x(ex＋e－x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
3．(2024·广东广州一模)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是( )


[答案] A
[解析] 由图可知，当x>0时，f(x)单调递减，f′(x)f(e)>f(3)B．f(3)>f(e)>f(2)
C．f(3)>f(2)>f(e)D．f(e)>f(3)>f(2)
[答案] D
[解析] f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e.
所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)f(3)>f(2)．
5．(2025·江西赣州十八县(市、区)期中联考)“－0，
所以g(x)在(1，e)上递增，又g(1)＝3，
所以a≤3.所以a的取值范围是(－∞，3]．故选B.
7．(2023·河南许昌、平顶山期中)已知f(x)是偶函数，在(－∞，0)上满足xf′(x)>0恒成立，则下列不等式成立的是( )
A．f(－3)0即f′(x)0，解得01，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
a＝ln2＋＝＝＝f(4)，
b＝＝＝f(e)，c＝＝f(π)，
因为1f(π)>f(4)，即b>c>a.故选B.
二、多选题
9．(2024·河北衡水月考)下列不等式成立的是( )
A．2lnelnπ
[答案] AD
[解析] 设f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，所以当00，函数f(x)单调递增；
当x>e时，f′(x)ln，故选项B不正确；
因为ef(5)，即5ln4>4ln5，
故选项C不正确．
同理ef(π)，即π>elnπ，故选项D正确．
10．(2025·黑龙江龙东地区联考)若函数f(x)＝ax2－xlnx＋x在区间(0，＋∞)上存在单调递减区间，则实数a可以是( )
A．0B．
C．D．1
[答案] AB
[解析] 由已知得f′(x)＝ax－(lnx＋1)＋1＝ax－lnx，
因为f(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
则ax－lnx0，g(x)递增，x>e时，g′(x)
D．f0，即函数y＝sinx＋2x是单调递增的，∴当x＝π时取得最大值ymax＝2π.
13．(2025·重庆名校联盟联考)若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域的一个区间(2k－1,2k＋1)内不单调，则实数k的取值范围是____________.
[答案]
[解析] 函数f(x)＝2x2－lnx的定义域是(0，＋∞)，
所以2k－1≥0，即k≥.因为f′(x)＝4x－，
所以f′(x)在上单调递增，
由f′(x)＝0，可得x＝.若函数f(x)＝2x2－lnx在区间(2k－1,2k＋1)内不单调，
则2k－10)，
①当a≤0时，由f′(x)0得x>1.
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
②当00得01.
所以f(x)在(0，a)和(1，＋∞)上单调递增，在(a,1)上单调递减；
③当a＝1时，f′(x)≥0恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
④当a>1时，由f′(x)0得0a.
所以f(x)在(0,1)和(a，＋∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减；
综上所述，
当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
当01时，f(x)在(0,1)和(a，＋∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减．
B组能力提升
1．(2025·江苏扬州期中)已知函数f(x)＝sinx－ax在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] 因为f(x)＝sinx－ax，则f′(x)＝cosx－a，因为函数f(x)＝sinx－ax在区间上单调递增，则对任意的x∈，f′(x)＝cosx－a≥0恒成立，则a≤(cosx)min＝cos＝.因此，实数a的取值范围是.故选B.
2．已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)>0，设F(x)＝，则不等式F(x)0，则有F′(x)1，则不等式的解集为(1，＋∞)．
3．(2025·黑龙江龙东地区联考)已知f′(x)是f(x)定义在(0，＋∞)上的导函数，同时f′(x)b>0，则必有( )
A．af(b)＋ab>0，
故af(a)－a0时，t(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1(当且仅当x＝1时取等号)，
∴2a≥1，
即实数a的取值范围为.
(2)若a＝1，则f(x)＝lnx－x＋(x>0)，
f′(x)＝－－.
设过点(0,1)与曲线f(x)相切的直线与f(x)的切点坐标为(x0，y0)，
则y0－1＝f′(x0)(x0－0)，即lnx0－x0＋－1＝·x0＝1－x0－，整理得lnx0＋－2＝0，
令h(x)＝lnx＋－2(x>0)，
则h′(x)＝－＝，
令h′(x)＝0，得x＝2，
∴h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
又h＝2－ln2>0，h(2)＝ln2－10，
∴h(x)与x轴有两个交点，
∴过点(0,1)向曲线y＝f(x)可作2条切线．
C组拓展应用(选作)
(2025·广东广州花都区调研)已知函数f(x)＝lnx＋x2－ax.
(1)若f(x)在区间(0，e]单调递增，求a的取值范围；
(2)讨论f(x)的单调性．
[解析] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2x－a，
f(x)在区间(0，e]单调递增，即当x∈(0，e]时，f′(x)≥0恒成立，
亦即a≤＋2x在区间(0，e]恒成立；
因为＋2x≥2，
所以，a的取值范围为(－∞，2]．
(2)①当a≤2时，f′(x)＝＋2x－a≥2－a≥0在(0，＋∞)恒成立，
则f(x)在(0，＋∞)单调递增；
②当a>2时，f′(x)＝＋2x－a＝，易知a2－8>0，
令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝，且0x2时，f′(x)>0；
所以，f(x)在区间(x1，x2)单调递减，在区间(0，x1)和(x2，＋∞)单调递增．
综上所述，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)单调递增；
当a>2时，f(x)在区间单调递减，在区间和单调递增．
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