提能训练 练案[19]
A组基础巩固
1．(2025·福建泉州模拟)已知函数f(x)＝x2lnx.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若存在x>0，使得f(x)≤ax成立，求实数a的取值范围．
[解析] (1)因为f′(x)＝x(2lnx＋1)，x>0，
令f′(x)＝0，解得x＝，
当x∈时，f′(x)0，f(x)单调递增，
则f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)依题意，存在x>0，使得a≥xlnx，
令g(x)＝xlnx，则g′(x)＝lnx＋1，
当x∈时，g′(x)0，g(x)单调递增，
故g(x)min＝g＝－，因此a≥－，
故a的取值范围为.
2．已知函数f(x)＝－(m＋1)x＋mlnx＋m，f′(x)为函数f(x)的导函数，若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范围．
[解析] 由题意知xf′(x)－f(x)≥0恒成立，
即－mlnx≥0恒成立，∴≥mlnx(x>0)．
【易错点】注意自变量的取值范围
当x＝1时，≥mlnx恒成立，
当x>1时，≥m；
当01时，令g′(x)＝0，得x＝，
∴当1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
∴g(x)≥g()＝e，∴m≤e.
综上知0≤m≤e，故实数m的取值范围是[0，e]．
3．已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋mx2，m>0.
若g(x)＝f(x)－sinx，x＝0是g(x)的极大值点，求实数m的取值范围．
[解析] 由题意知g(x)＝ln(x＋1)＋mx2－sinx，
则g(0)＝0，g′(x)＝＋2mx－cosx，g′(0)＝0.
令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝2m－＋sinx，
h′(0)＝2m－1.
①若00，
所以存在x0∈，使得h′(x0)＝0.
所以当x∈(－1，x0)时，h′(x)0，当x∈(0，x0)时，g′(x)0，所以h(x)在上单调递增，
所以g′(x)>g′(0)＝0，所以g(x)在上单调递增，
因此x＝0不可能是g(x)的极大值点．
综上，实数m的取值范围为.
4．(2025·衡水检测)已知函数f(x)＝x－alnx＋在x＝1处取得极值．
(1)若a>1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若a>3，函数g(x)＝a2x2＋3，若存在m1，m2∈，使得|f(m1)－g(m2)|2，则函数f(x)的单调递减区间为(1，a－1)，单调递增区间为(0,1)，(a－1，＋∞)．
(2)若a>3时，f(x)在上单调递增，在(1,2)上单调递减，
所以f(x)的最大值为f(1)＝2－a0，
∴g(x)>f(x)在上恒成立，
若存在m1，m2∈，
使得|f(m1)－g(m2)|3，所以实数a的取值范围是(3,4)．
B组能力提升
1．(2023·河北辛集中学模拟)已知函数f(x)＝2x3＋5x2＋4x，g(x)＝x2＋2x－m－7(x∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若?x1∈[－3,3]，?x2∈[－3,1]，使得g(x1)＝f(x2)，求m的取值范围．
[解析] (1)f′(x)＝6x2＋10x＋4＝(x＋1)(6x＋4)．
在(－∞，－1)和上，f′(x)>0，f(x)单调递增．
在上，f′(x)0时，f(x)的单调增区间为(－∞，0)，；
单调递减区间为.
(2)①由x3－ax2≥lnx恒成立
?a≤min＝min，
令g(x)＝x－，
g′(x)＝1－＝，
令φ(x)＝x3＋2lnx－1，φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
注意到φ(1)＝0，∴当01时，φ(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝1，∴a≤1，
实数a的取值范围为(－∞，1]．
C组拓展应用(选作)
(2024·广东汕头三模)已知函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝，a≠0.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求a的最小值．
[解析] (1)f′(x)＝－a＝(a≠0)，
当a0，所以f(x)>0恒成立，从而f(x)在(0，＋∞)上递增；
当a>0时，00；x>，f′(x)0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)令h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－ax－，要使f(x)≤g(x)恒成立，
只要使h(x)≤0恒成立，也只要使h(x)max≤0.
h′(x)＝－a＋＝，
若a>0，x>0，所以ax＋1>0恒成立，
当00，当0，所以ax－20，
可知h(x)在内单调递减，
在内单调递增，
所以h(x)在(0，＋∞)内无最大值，且当x趋近于＋∞时，
h(x)趋近于＋∞，不合题意；
综上所述：a的最小值为.
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