2026《衡中学案》高考一轮总复习 数学提能训练 练案[24] 人教版
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- 草料种类:训练
- 种草时间:2025/6/20 21:41:00
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文件简介::
提能训练 练案[24]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2025·河北秦皇岛月考)－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝( )
A．B．
C．D．
[答案] A
[解析] 原式＝－sin(180°－47°)cos(180°＋17°)－cos47°cos(90°－17°)＝sin47°cos17°－cos47°·sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝.
2．(2025·湖北枣阳模拟)若sinα＝，则sin＝( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] ∵sinα＝，
∴cosα＝＝，
∴sin＝sinα·cos＋cosαsin
＝×＋×＝，故选B.
3．在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
[答案] C
[解析] 依题意可知cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)>0，所以－cosC>0，所以cosC<0，所以C为钝角．故选C.
4．(2024·山东枣庄模拟)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，则cos＝( )
A．0B．
C．D．
[答案] D
[解析] 由题意知角α的终边经过点P，所以sinα＝，cosα＝，所以cos＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝.故选D.
5．(2025·江西上高二中模拟预测)已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝( )
A．－3B．3
C．－D．
[答案] C
[解析] 因为cos＝2cos(π－α)，所以－sinα＝－2cosα，即tanα＝2，
tan＝＝＝－.故选C.
6．(2024·宁夏石嘴山三模)已知cosα＝，α∈，sinβ＝，β∈，则cos(α－β)＝( )
A．B．
C．D．－
[答案] A
[解析] 因为cosα＝，α∈，sinβ＝，β∈，
所以sinα＝＝，
cosβ＝－＝－，
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.故选A.
7．若2cos2＝1＋cos2α，则tan2α的值为( )
A．－B．
C．－D．
[答案] D
[解析] 直接利用倍角公式和三角函数关系式的变换的应用求出结果．由于2cos2＝1＋cos2α，整理得2cos2－1＝cos2α，所以cos＝cos2α，故sin2α＝cos2α，整理得tan2α＝.故选D.
8．(2025·宁夏银川二中测试)已知sin＝，cos＝，α∈，β∈，则cos(α＋β)＝( )
A．B．
C．－D．－
[答案] C
[解析] 由α∈，β∈，
则α＋∈，β－∈，
故cos＝－＝－，
sin＝－＝－，
故cos(α＋β)＝cos
＝coscos－sinsin
＝－×－×＝－.故选C.
二、多选题
9.cosα－sinα可以化为( )
A．2sinB．2cos
C．2cosD．2sin
[答案] CD
[解析] cosα－sinα＝2
＝2＝2cos；
或cosα－sinα＝2
＝2＝2sin.
10．(2025·南京月考)下列说法正确的是( )
A．cos2α＝
B．1－sinα＝2
C．sinα＋cosα＝sin
D．＝
[答案] ABD
[解析] ∵cos2α＝2cos2α－1，∴cos2α＝，故A正确；
1－sinα＝sin2＋cos2－2sincos＝2，故B正确；
sinα＋cosα＝sin，故C错误；
＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝，故D正确．故选ABD.
11．(2025·辽宁六校考试)下列各式中，值为的是( )
A．cos2－sin2B．
C．2sin195°cos195°D．
[答案] BC
[解析] cos2－sin2＝cos＝cos＝，故A错误；
＝·＝tan45°＝，故B正确；
2sin195°cos195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin15°·cos15°＝sin30°＝，故C正确；
＝＝，故D错误．故选BC.
三、填空题
12．计算：＝________.
[答案]
[解析] 原式＝＝
＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.
13．已知点P(x,2)是角α终边上一点，且cosα＝－，则cos＝________.
[答案] －
[解析] 因为点P(x,2)是角α终边上一点，
则有cosα＝＝＝－，
解得x＝－1，
则sinα＝＝，
因此，cos＝coscosα－sinsinα
＝×－×＝－.
14．(2025·江西模拟)已知cos(α＋β)＝，cosαcosβ＝，则cos(2α－2β)＝________.
[答案] －
[解析] 因为cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cosαcosβ＝，所以sinαsinβ＝－，
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，
所以cos(2α－2β)＝cos2(α－β)＝2cos2(α－β)－1＝－.
四、解答题
15．已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
[解析] (1)因为tanα＝，tanα＝，
所以sinα＝cosα.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此cos2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，
因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－.
B组能力提升
1．(2025·山东模拟)已知sinxcosy＋cosxsiny＝，cos2x－cos2y＝，则sin(x－y)＝( )
A．B．
C．－D．－
[答案] D
[解析] sinxcosy＋cosxsiny＝sin(x＋y)＝，cos2x－cos2y＝cos[(x＋y)＋(x－y)]－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－2sin(x＋y)sin(x－y)＝－sin(x－y)＝，所以sin(x－y)＝－.故选D.
2．(2025·云南模拟)若sinθ＋sin＝，则sin＝( )
A．B．
C．D．
[答案] A
[解析] 由sinθ＋sin＝sin＋sin＝2sincos＝，即2sin×＝，所以sin＝.故选A.
3．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则C等于( )
A．B．
C．D．
[答案] A
[解析] 由已知得tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)，
∴＝－，即tan(A＋B)＝－.
又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，0
A．－－B．－
C．－＋D．＋
[答案] A
[解析] 因为f(x)＝－4sinx＋3cosx＝－5＝－5sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，又f(x)在x0处取到最大值，所以x0－φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即x0＝φ－＋2kπ(k∈Z)，则sinx0＝－cosφ＝－，cosx0＝sinφ＝，所以sin＝sinx0－cosx0＝－－，故选A.
5．已知若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝.
(1)求cosα的值；
(2)求cos的值．
[解析] (1)∵0<α<，∴<＋α<，
∵cos＝，∴sin＝，
∴cosα＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
(2)∵－<β<0，∴<－<，
∵cos＝，∴sin＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
C组拓展应用(选作)
(2024·全国甲卷)已知＝，则tan＝( )
A．2＋1B．2－1
C．D．1－
[答案] B
[解析] 因为＝，
所以＝，?tanα＝1－，
所以tan＝＝2－1，故选B.
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A组基础巩固
一、单选题
1．(2025·河北秦皇岛月考)－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝( )
A．B．
C．D．
[答案] A
[解析] 原式＝－sin(180°－47°)cos(180°＋17°)－cos47°cos(90°－17°)＝sin47°cos17°－cos47°·sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝.
2．(2025·湖北枣阳模拟)若sinα＝，则sin＝( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] ∵sinα＝，
∴cosα＝＝，
∴sin＝sinα·cos＋cosαsin
＝×＋×＝，故选B.
3．在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
[答案] C
[解析] 依题意可知cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)>0，所以－cosC>0，所以cosC<0，所以C为钝角．故选C.
4．(2024·山东枣庄模拟)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，则cos＝( )
A．0B．
C．D．
[答案] D
[解析] 由题意知角α的终边经过点P，所以sinα＝，cosα＝，所以cos＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝.故选D.
5．(2025·江西上高二中模拟预测)已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝( )
A．－3B．3
C．－D．
[答案] C
[解析] 因为cos＝2cos(π－α)，所以－sinα＝－2cosα，即tanα＝2，
tan＝＝＝－.故选C.
6．(2024·宁夏石嘴山三模)已知cosα＝，α∈，sinβ＝，β∈，则cos(α－β)＝( )
A．B．
C．D．－
[答案] A
[解析] 因为cosα＝，α∈，sinβ＝，β∈，
所以sinα＝＝，
cosβ＝－＝－，
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.故选A.
7．若2cos2＝1＋cos2α，则tan2α的值为( )
A．－B．
C．－D．
[答案] D
[解析] 直接利用倍角公式和三角函数关系式的变换的应用求出结果．由于2cos2＝1＋cos2α，整理得2cos2－1＝cos2α，所以cos＝cos2α，故sin2α＝cos2α，整理得tan2α＝.故选D.
8．(2025·宁夏银川二中测试)已知sin＝，cos＝，α∈，β∈，则cos(α＋β)＝( )
A．B．
C．－D．－
[答案] C
[解析] 由α∈，β∈，
则α＋∈，β－∈，
故cos＝－＝－，
sin＝－＝－，
故cos(α＋β)＝cos
＝coscos－sinsin
＝－×－×＝－.故选C.
二、多选题
9.cosα－sinα可以化为( )
A．2sinB．2cos
C．2cosD．2sin
[答案] CD
[解析] cosα－sinα＝2
＝2＝2cos；
或cosα－sinα＝2
＝2＝2sin.
10．(2025·南京月考)下列说法正确的是( )
A．cos2α＝
B．1－sinα＝2
C．sinα＋cosα＝sin
D．＝
[答案] ABD
[解析] ∵cos2α＝2cos2α－1，∴cos2α＝，故A正确；
1－sinα＝sin2＋cos2－2sincos＝2，故B正确；
sinα＋cosα＝sin，故C错误；
＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝，故D正确．故选ABD.
11．(2025·辽宁六校考试)下列各式中，值为的是( )
A．cos2－sin2B．
C．2sin195°cos195°D．
[答案] BC
[解析] cos2－sin2＝cos＝cos＝，故A错误；
＝·＝tan45°＝，故B正确；
2sin195°cos195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin15°·cos15°＝sin30°＝，故C正确；
＝＝，故D错误．故选BC.
三、填空题
12．计算：＝________.
[答案]
[解析] 原式＝＝
＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.
13．已知点P(x,2)是角α终边上一点，且cosα＝－，则cos＝________.
[答案] －
[解析] 因为点P(x,2)是角α终边上一点，
则有cosα＝＝＝－，
解得x＝－1，
则sinα＝＝，
因此，cos＝coscosα－sinsinα
＝×－×＝－.
14．(2025·江西模拟)已知cos(α＋β)＝，cosαcosβ＝，则cos(2α－2β)＝________.
[答案] －
[解析] 因为cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cosαcosβ＝，所以sinαsinβ＝－，
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，
所以cos(2α－2β)＝cos2(α－β)＝2cos2(α－β)－1＝－.
四、解答题
15．已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
[解析] (1)因为tanα＝，tanα＝，
所以sinα＝cosα.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此cos2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，
因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－.
B组能力提升
1．(2025·山东模拟)已知sinxcosy＋cosxsiny＝，cos2x－cos2y＝，则sin(x－y)＝( )
A．B．
C．－D．－
[答案] D
[解析] sinxcosy＋cosxsiny＝sin(x＋y)＝，cos2x－cos2y＝cos[(x＋y)＋(x－y)]－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－2sin(x＋y)sin(x－y)＝－sin(x－y)＝，所以sin(x－y)＝－.故选D.
2．(2025·云南模拟)若sinθ＋sin＝，则sin＝( )
A．B．
C．D．
[答案] A
[解析] 由sinθ＋sin＝sin＋sin＝2sincos＝，即2sin×＝，所以sin＝.故选A.
3．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则C等于( )
A．B．
C．D．
[答案] A
[解析] 由已知得tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)，
∴＝－，即tan(A＋B)＝－.
又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，0
A．－－B．－
C．－＋D．＋
[答案] A
[解析] 因为f(x)＝－4sinx＋3cosx＝－5＝－5sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，又f(x)在x0处取到最大值，所以x0－φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即x0＝φ－＋2kπ(k∈Z)，则sinx0＝－cosφ＝－，cosx0＝sinφ＝，所以sin＝sinx0－cosx0＝－－，故选A.
5．已知若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝.
(1)求cosα的值；
(2)求cos的值．
[解析] (1)∵0<α<，∴<＋α<，
∵cos＝，∴sin＝，
∴cosα＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
(2)∵－<β<0，∴<－<，
∵cos＝，∴sin＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
C组拓展应用(选作)
(2024·全国甲卷)已知＝，则tan＝( )
A．2＋1B．2－1
C．D．1－
[答案] B
[解析] 因为＝，
所以＝，?tanα＝1－，
所以tan＝＝2－1，故选B.
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