提能训练 练案[25]
A组基础巩固
一、单选题
1．已知α∈(0，π)，2sin2α＝cos2α－1，则cosα＝( )
A．B．－
C．D．－
[答案] B
[解析] ∵2sin2α＝cos2α－1，∴4sinαcosα＝－2sin2α.∵α∈(0，π)，∴sinα>0,2cosα＝－sinα，∴cosα0，sin，tanB＝3>，
可知A，B∈，则C＝π－(A＋B)∈，
且tanC＝－tan(A＋B)＝－＝1，
所以C＝.故选B.
2．(2025·江苏苏南十校联考)已知α，β∈，tanαtanβ＝，tan(α＋β)＝，则cos(α－β)＝( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] 因为α，β∈，tan(α＋β)＝>0，
所以α＋β∈，所以α＋β＝，
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝①，
又因为tanαtanβ＝，所以＝②，
①②联立解得
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝＋＝.故选B.
3．(2024·湖北二模)函数f(x)＝3cosx－4sinx，当f(x)取得最大值时，sinx＝( )
A．B．－
C．D．－
[答案] B
[解析] f(x)＝3cosx－4sinx＝5＝5cos(x＋φ)，
其中cosφ＝，sinφ＝，
而f(x)＝3cosx－4sinx＝5cos(x＋φ)≤5，
等号成立当且仅当x＋φ＝2kπ(k∈Z)，
此时sinx＝sin(－φ)＝－sinφ＝－.故选B.
4．(2025·福建省百校临考冲刺)若α∈(0，π)，且sinα＋2cosα＝2，则tan＝( )
A．B．
C．D．
[答案] A
[解析] 解法一：由已知得cosα＝1－sinα，
代入sin2α＋cos2α＝1，
得sin2α＋2＝1，
整理得sin2α－sinα＝0，
解得sinα＝0或sinα＝.
因为α∈(0，π)，所以sinα＝，故cosα＝1－×＝.所以tan＝＝＝.故选A.
解法二：因为sinα＝2sincos，cosα＝1－2sin2，
所以sinα＋2cosα＝2可以化为2sincos＋2＝2，
化简可得2sincos＝4sin2.①
因为α∈(0，π)，所以∈，所以sin≠0.
所以①式可化为cos＝2sin，即tan＝.故选A.
5．(2024·河南TOP二十名校调研(三))已知<α<，sin＝－.
(1)求cosα的值；
(2)若0<β<，cos＝，求cos(2α＋β)的值．
[解析] (1)因为<α<，所以－α∈，
又sin＝－，所以cos＝，
所以cosα＝cos
＝coscos＋sinsin＝.
(2)由(1)得sinα＝＝
＝，
cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，
所以sin2α＝2sinαcosα＝，
因为0<β<，所以＋β∈，
又cos＝，所以sin＝，
所以cosβ＝cos＝
coscos＋sinsin＝，
sinβ＝＝.
所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ
＝×－×＝－.
C组拓展应用(选作)
(2025·云南大理统测)已知sinα＋cosα＝，则cos＝( )
A．－B．－
C．D．
[答案] B
[解析] ∵sinα＋cosα＝2sin＝，∴sin＝，∴cos＝1－2sin2＝，∴cos＝－.故选B.
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