提能训练 练案[26]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2025·浙江温州统测)已知函数f(x)＝cosx，若关于x的方程f(x)＝a在上有两个不同的根，则实数a的取值范围是( )
A．B．
C．D．
[答案] C
[解析] 画出函数f(x)＝cosx，x∈图象，若方程f(x)＝a在上有两个不同的根，由图可知a∈.故选C.

2．函数y＝的定义域为( )
A．
B．(k∈Z)
C．，k∈Z
D．k∈Z
[答案] B
[解析] 由2sinx－≥0得sinx≥，解得＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．故选B.
3．函数f(x)＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是( )
A．3π和B．3π和2
C．6π和D．6π和2
[答案] C
[解析] f(x)＝sin＋cos＝＝sin，最小正周期T＝＝6π；当sin＝1，即x＝π＋6kπ，k∈Z时，f(x)取最大值，故选C.
4．(2025·蚌埠月考)函数f(x)＝sin
的值域是( )
A．[－1,1]B．
C．D．
[答案] B
[解析] 由0≤x≤，∴0≤2x≤π，∴－≤2x－≤，由正弦函数的性质知f(x)∈.故选B.
5．设函数f(x)＝cos，则f(x)在上的单调递减区间是( )
A．B．
C．D．
[答案] D
[解析] 由已知f(x)＝cos，2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈，∴单调递减区间为.
6．下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是( )
A．y＝sinB．y＝cos
C．y＝cosD．y＝sin
[答案] C
[解析] y＝sin＝－cos2x为偶函数，排除A；y＝cos＝sin2x在上单调递减，排除B；y＝cos＝－sin2x为奇函数，在上单调递增，且周期为π，C符合题意；y＝sin＝cosx为偶函数，排除D.故选C.
7．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长为，则f的值是( )
A．0B．
C．1D．
[答案] D
[解析] 由条件可知，f(x)的最小正周期是.由＝，得ω＝4，所以f＝tan＝tan＝.
8．(2023·河南洛阳模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于点对称B．关于直线x＝对称
C．关于点对称D．关于直线x＝对称
[答案] B
[解析] ∵函数f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin(ω>0)的最小正周期为＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝sin.
令x＝，求得f(x)＝sin≠0，且f(x)不是最值，故A、D错误；
令x＝，求得f(x)＝，为最大值，故函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确，C错误．故选B.
二、多选题
9．已知函数f(x)＝sinx－cosx，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的最大值为
B．f(x)在区间上单调递增
C．f(x)的图象关于点对称
D．f(x)的最小正周期为π
[答案] AB
[解析] f(x)＝sinx－cosx＝sin，
对于A，f(x)max＝，A正确；
对于B，当x∈时，x－∈，
自正弦函数在上单调递增可知f(x)在上单调递增，B正确；
对于C，当x＝时，x－＝，则f(x)关于直线x＝成轴对称，C错误；
对于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D错误．
10．(2025·枣庄模拟)已知函数f(x)＝|sinx|，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．点(π，0)是f(x)图象的一个对称中心
C．π为f(x)的一个周期
D．f(x)在区间上单调递减
[答案] ACD
[解析] 解法一：由f＝＝|cosx|，
f＝＝|cosx|，
即有f＝f，
所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；
由f(π＋x)＋f(π－x)＝|sin(π＋x)|＋|sin(π－x)|＝|sinx|＋|sinx|＝2|sinx|≠0，
故f(x)的图象不关于点(π，0)对称，故B错误；
由f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x)，
可得π为f(x)的一个周期，故C正确；
当x∈时，sinx0)的最小正周期是，则ω的值为________.
[答案] 2
[解析] f(x)＝sinsin＝sincos＝sin，所以T＝＝，ω＝2.
四、解答题
14．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ的值；
(2)求y＝f(x)的单调递增区间；
(3)当x∈，求f(x)的值域．
[解析] (1)由题意，函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)．
y＝f(x)的一条对称轴是直线x＝，
则2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
结合－π<φ<0可得φ＝－.
(2)由(1)可得f(x)＝sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
可得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(3)因为x∈，所以2x－∈，
所以－1≤sin<－，
故f(x)的值域为.
B组能力提升
1．(2025·广州模拟)如果函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值是( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] 由已知得，2×＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝－1时|φ|最小为，故选B.
2．(2025·湖南衡阳期末)下列函数的最小正周期为π，且在(0,1)上单调递减的是( )
A．y＝cos(1－2x)B．y＝sin2x
C．y＝tan(1－x)D．y＝－sin
[答案] C
[解析] 由题意，在y＝cos(1－2x)中，y＝cos(2x－1)，ω＝2，最小正周期为T＝＝π，当单调递增时，2kπ－π≤2x－1≤2kπ(k∈Z)，解得kπ－＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴在(0,1)上不单调递减，A错误；在y＝sin2x中，ω＝2，最小正周期为T＝＝π，当单调递增时，2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴在(0,1)上不单调递减，B错误；在y＝tan(1－x)中，y＝－tan(x－1)，周期T＝＝π，∴函数在kπ－3．(多选题)(2025·黑龙江牡丹江省级示范性高中月考)关于函数f(x)＝sin的图象与性质，下列说法正确的是( )
A．x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
B．是函数f(x)图象的一个对称中心
C．将函数y＝cos的图象向右平移个单位长度可得到函数y＝f(x)的图象
D．当x∈(0,2π)时，f(x)∈(－1,1)
[答案] ABC
[解析] f(x)＝sin＝－sin，令－＝kπ＋，k∈Z，则x＝2kπ＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，所以x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故A项正确；令－＝kπ，k∈Z，则x＝2kπ＋，k∈Z，当k＝－1时，x＝－，所以是函数f(x)图象的一个对称中心，故B项正确；因为f(x)＝sin＝cos＝cos＝cos，显然将函数y＝cos的图象向右平移个单位长度可得到函数y＝cos的图象，即函数f(x)的图象，故C项正确；f(x)＝sin，当x∈(0,2π)时，－∈，结合正弦函数的图象可知函数f(x)的值域为(－1，]，故D项错误．故选ABC.
4．(2024·湘豫联考三模)当0≤x<时，的最大值是( )
A．2B．
C．0D．2
[答案] D
[解析] 原式＝＝2sinx＋6cosx＝2sin(x＋φ)，其中锐角φ由tanφ＝3确定，由0≤x<，得0<φ≤x＋φ<＋φ<π，所以[2sin(x＋φ)]max＝2.故选D.
5．(2025·天津红桥区期中)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求f(x)在区间上的最大值与最小值．
[解析] (1)已知f(x)＝sin2x－sin2，
f(x)＝sin2x－2
＝sin2...