提能训练 练案[27]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2025·永州模拟)函数y＝2cos的部分图象大致是( )

[答案] A
[解析] 由y＝2cos可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点(0，)，故排除C.故选A.
2．(2024·湖北荆州三模)函数f(x)＝tan的最小正周期为( )
A．πB．
C．D．
[答案] B
[解析] 由周期公式得T＝＝.故选B.
3．(2024·福建泉州一模)已知函数f(x)的周期为π，且在区间内单调递增，则f(x)可能是( )
A．f(x)＝sinB．f(x)＝cos
C．f(x)＝sinD．f(x)＝cos
[答案] C
[解析] 因为函数f(x)的周期为π，所以当ω>0时，对正、余弦函数来说，ω＝＝＝2，故排除A、B，当x∈时，2x－∈，因为y＝sinx在上单调递增，故C正确，D错误．故选C.
4．(2025·宁夏银川二中测试)将函数f(x)＝sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，然后将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝( )
A．2sinB．2sin
C．2sinD．2sin
[答案] B
[解析] f(x)＝sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin，向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin＝2sin，故选B.
5．(2025·张家界模拟)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，|φ|0)的部分图象如图所示，则( )

A．y＝2sinB．y＝2sin
C．y＝2sinD．y＝2sin
[答案] A
[解析] 根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|0)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则正实数φ的最小值为( )
A．B．
C．D．π
[答案] B
[解析] 因为f(x)＝sinωx－cosωx＝2sin，若函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，则＝π，解得ω＝2，可得f(x)＝2sin，将f(x)的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)＝f(x－φ)＝2sin，可得2φ＋＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝＋，k∈Z，可知当k＝0时，正实数φ取得最小值.故选B.
8．(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin的交点个数为( )
A．3B．4
C．6D．8
[答案] C
[解析] 因为函数y＝sinx的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin的最小正周期为T＝，所以在x∈[0,2π]上函数y＝2sin有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点．故选C.

二、多选题
9．(2025·江苏扬州模拟)已知函数f(x)＝2cos2，则( )
A．f(x)最小正周期为2π
B．x＝是f(x)图象的一条对称轴
C．是f(x)图象的一个对称中心
D．f(x)在上单调
[答案] BC
[解析] f(x)＝2cos2＝cos＋1，f(x)的最小正周期为＝π，故A错误；令2×－＝kπ(k∈Z)可得k＝0，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；令2×－＝kπ＋(k∈Z)可得k＝0，且f＝1，所以y＝f(x)的图象关于点对称，故C正确；因为x∈，所以∈，由y＝cosx在上单调递增，上单调递减可知，f(x)在上单调递增，在单调递减，故D错误．故选BC.
10．(2025·辽宁丹东阶段测试)已知函数f(x)＝cosx(1－sinx)tan，则( )
A．f(x)为偶函数
B．f(x)在单调递增
C．f(x)最小正周期为2π
D．f(x)的图象是中心对称图形
[答案] BC
[解析] ＋≠＋kπ，k∈Z，x≠＋2kπ，k∈Z，
所以函数的定义域，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故A错误；
tan＝＝，
(1－sinx)tan＝2·＝cos2－sin2＝cosx，
所以f(x)＝cosx(1－sinx)tan＝cos2x＝，
当x∈，2x∈(π，2π)，此时cos2x单调递增，故B正确；
y＝cos2x的最小正周期为＝π，但函数的定义域是，所以函数的最小正周期为2π，故C正确；
因为函数的定义域是，
所以cos2x≠－1，所以函数f(x)取不到最小值0，但有最大值1，所以函数f(x)的图象不是中心对称图形，故D错误．故选BC.
11.(2025·湖南沅澧共同体联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )

A．f(x)＝2sin
B．f(x)的图象关于直线x＝－π对称
C．f是偶函数
D．将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象
[答案] ABD
[解析] 由图可得，A＝2，－＝×，
解得ω＝2，又函数图象经过点，
所以2sin＝2，即sin＝1，
因为|φ|0)，已知f(x)在区间恰有三个零点，则ω的范围为____________.
[答案]
[解析] 由题意可得f(x)＝sinωx－2cos2＝sinωx－cosωx－1＝2sin－1，
令t＝ωx－，即sint＝恰有三个实根，
三根为：①＋2kπ，＋2kπ，＋2(k＋1)π；
②＋2kπ，＋2(k＋1)π，＋2(k＋1)π，k∈Z，
∵ω>0，∴ωx－∈，
∴
?无解；
或
?
当k＝－1时，解得ω的范围为.
四、解答题
15．(2025·广东肇庆一中月考)已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋.
(1)求f(x)的最小正周期和f(x)的单调递减区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的值．
[解析] (1)f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＋＝sin2x－2·＋＝sin2x－cos2x＝2sin，
所以，函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝π.
解不等式＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
因此，函数y＝f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
(2)当x∈时，≤2x－≤，
当2x－＝时，即当x＝时，函数y＝f(x)取得最小值，最小值为－2.
B组能力提升
1．(2024·河北唐山二模)函数f(x)＝sin(2x－φ)在上为单调递增函数，则φ的取值范围为( )
A．B．
C．D．
[答案] C
[解析] 由x∈可得2x－φ∈，又|φ|≤，则≤－φ≤，且f(x)在上为单调递增函数，所以解得≤φ≤，即φ的取值范围为.故选C.
2.(2025·吉林长春模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )

A．A＝2，φ＝
B．函数f(x)的最小正周期为2π
C．函数f(x)在上单调递减
D．函数f(x)的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称
[答案] C
[解析] 由f(x)max＝2得A＝2，f(0)＝2sinφ＝－1，
所以sinφ＝－，又|φ|0)个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是
D．若实数m使得方程f(x)＝m在[0,2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝
[答案] BCD
[解析] 由于f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，令x∈，则x＋∈，所以y＝sinx在x∈时有增有减，故A不正确；令x＝π，则f＝2sin＝0，故B正确；平移后得y＝2sin，若图象关于y轴对称，则m＋＝＋kπ，k∈Z，整理得m＝＋kπ(k∈Z)，故C正确；因为x∈[0,2π]时，作出图象如图，由于f(x)与y＝m有且只有三个公共点，所以x3＝2π，又∵f(x)＝2时，x＝，且x1，x2关于直线x＝对称，∴x1＋x2＋x3＝2×＋2π＝π，故D正确．故选BCD.
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