提能训练 练案[28]
A组基础巩固
一、选择题
1．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C等于( )
A．30°或150°B．60°
C．120°D．30°
[答案] D
[解析] 由正弦定理知，＝，所以sin∠C＝＝＝，因为∠C∈(0°，180°)，且BC>AB，所以∠C＝30°.故选D.
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝，a＝1，B＝，则c等于( )
A．B．2
C．D．3
[答案] B
[解析] 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得7＝1＋c2＋c，解得c＝2或－3(舍去)．
3．(2025·吉林省吉林市模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B,2a＝3b，则cosB( )
A．B．
C．D．
[答案] A
[解析] 因为2a＝3b，由正弦定理2sinA＝3sinB，又A＝2B，所以2sin2B＝3sinB?4sinBcosB＝3sinB，因为B为三角形内角，所以sinB≠0，所以4cosB＝3?cosB＝.故选A.
4．(2024·江苏无锡锡南实验中学期中)在△ABC中，AB＝，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则BC＝( )
A．B．
C．D．2
[答案] B
[解析] 因为∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理＝，即＝，解得BC＝.故选B.
5．(2024·北京育才学校期中)在△ABC中，已知acosB＋bcosA＝2ccosA，则A＝( )
A．B
C．D．
[答案] C
[解析] 在△ABC中，由acosB＋bcosA＝2ccosA及正弦定理，得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，则sin(A＋B)＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA，而sinC>0，因此cosA＝，而090°，a>b，有一解，B正确；sinB＝＝>1，无解，C正确；sinB＝＝>1，无解，D错误．故选BC.
11．(2024·广西河池质检)初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练．在一次海上训练中，雷达兵在P处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面Q处，有一艘A舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在P处的B舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东50°＋θ方向与A舰艇对接并进行横向液货补给．若B舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则( )

A．B舰艇所需的时间为2小时
B．B舰艇与A舰艇对接时距离雷达兵(P处)距离为70公里
C．sinθ＝
D．A舰艇与B舰艇对接时距离Q处为50公里
[答案] BCD
[解析] 如图所示，设B舰艇经过x小时后在M处与A舰艇汇合，则MQ＝50x，MP＝70x，∠PQM＝120°，由余弦定理得(70x)2＝302＋(50x)2－3000xcos120°，即8x2－5x－3＝0，解得x＝1或－(舍去)，所以MQ＝50，MP＝70，又由正弦定理得＝，可得sinθ＝＝.故选BCD.

三、填空题
12．(2025·四川绵阳诊断)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝2，c＝3，cos(B＋C)＝－，则a＝________.
[答案]
[解析] 由cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cosA＝－，故cosA＝，则a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋9－12×＝5，故a＝.
13．(2024·湖北普高联盟期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA＋sinB＝sinC，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sinC，则c＝________，cosC＝________.
[答案] 4 －
[解析] △ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，
已知sinA＋sinB＝sinC，则：a＋b＝，
且△ABC的周长为9，则c＋＝9，
解得c＝4.若△ABC的面积等于3sinC，
则absinC＝3sinC，整理得ab＝6.
由于a＋b＝＝5，
故解得或
所以cosC＝＝－.
四、解答题
14．(2024·高考北京卷)在△ABC中，a＝7，A为钝角，sin2B＝bcosB．
(1)求∠A；
(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．
①b＝7；②cosB＝；③csinA＝.
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．
[解析] (1)由题意得2sinBcosB＝bcosB，
因为A为钝角，
则cosB≠0，则2sinB＝b，
则＝＝＝，解得sinA＝，
因为A为钝角，则A＝.
(2)选择①b＝7，则sinB＝b＝×7＝，
因为A＝，则B为锐角，则B＝，
此时A＋B＝π，不合题意，舍弃；
选择②cosB＝，因为B为三角形内角，
则sinB＝＝，
则代入2sinB＝b得2×＝b，解得b＝3，
sinC＝sin(A＋B)＝sin＝sincosB＋cossinB＝×＋×＝，
则S△ABC＝absinC＝×7×3×＝.
选择③csinA＝，则有c×＝，
解得c＝5，
则由正弦定理得＝，即＝，
解得sinC＝，
因为C为三角形内角，
则cosC＝＝，
则sinB＝sin(A＋C)＝sin＝sincosC＋cossinC＝×＋×＝，
则S△ABC＝acsinB＝×7×5×＝.
B组能力提升
1．(2024·江西九江三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2c－a＝2bcosA，则B＝( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] 因为2c－a＝2bcosA，由正弦定理，2sinC－sinA＝2sinBcosA，因为A＋B＋C＝π，∴2sin(A＋B)－2sinBcosA＝sinA，展开化简2sinAcosB＝sinA．∵sinA>0，∴cosB＝，又B∈(0，π)，∴B＝.故选B.
2．(2024·天津河西区期中)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，A＝，则b的取值范围是( )
A．(0,6)B．(0,2)
C．(，2)D．(3，6)
[答案] D
[解析] 锐角△ABC中，a＝3，A＝，
由正弦定理可得＝＝＝6，
所以b＝6sinB，又B＋C＝π，
所以解得0，所以cosB＝，
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由正弦定理可得
sin∠ACB＝AB×＝，
因为AD∥BC，所以sin∠DAC＝，
在△ACD中，因为CD0，
从而sinC＝＝＝，
又因为sinC＝cosB，即cosB＝，
注意到B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由(1)可得B＝，cosC＝，C∈(0，π)，
从而C＝，A＝π－－＝，
而sinA＝sin＝sin＝×＋×＝，
由正弦定理有＝＝，
从而a＝·c＝c，b＝·c＝c，
由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为
S△ABC＝absinC＝·c·c·＝c2，
由已知△ABC面积为3＋，
可得c2＝3＋，所以c＝2.
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