2026《衡中学案》高考一轮总复习 数学提能训练 练案[29] 人教版
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- 种草时间:2025/6/20 21:41:00
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文件简介::
提能训练 练案[29]
1．(2025·河北调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a2－2b2＝2cacosB－bc.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝5，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[解析] (1)∵2a2－2b2＝2cacosB－bc，
由余弦定理得，c2＋a2－b2＝2accosB，
所以2(a2－b2)＝c2＋a2－b2－bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝＝.
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)因为△ABC的面积为，
即bcsinA＝×b×c×sin＝，
∴bc＝6.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝25－18＝7.
解得a＝.所以△ABC周长为5＋.
2．(2025·江西赣州十八县(市、区)期中联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝3，a＝7，A＝.
(1)求sinB及c；
(2)求cos(B－C)．
[解析] (1)由正弦定理可得＝，
即sinB＝＝＝，
由余弦定理可得cosA＝，
即＝－，
即c2＋3c－40＝0，解得c＝5或c＝－8(舍)．
(2)由(1)知sinB＝，且B为锐角，
所以cosB＝.
所以cos(B－C)＝cos＝cos
＝cos2Bcos＋sin2Bsin
＝cos2B＋sin2B＝(cos2B－sin2B)＋sinBcosB
＝＋××＝.
3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sinB．
(1)求sinA；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
[解析] (1)∵A＋B＝3C，
∴π－C＝3C，即C＝，
又2sin(A－C)＝sinB＝sin(A＋C)，
∴2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，
∴sinAcosC＝3cosAsinC，
∴sinA＝3cosA，
即tanA＝3，所以00，所以a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理得cosB＝＝，所以B＝.
(2)在△ABC中，由等面积法得
S△ABC＝S△BAD＋S△BCD，
即BC·BA·sinB＝BA·BD·sin＋BC·BD·sin，
即×3×4×＝×4×BD×＋×3×BD×，
所以BD＝.
6．(2025·广东深圳中学诊断)已知在△ABC中，满足asinB－bcosBcosC＝ccos2B(其中a，b，c分别是角A，B，C的对边)．
(1)求角B的大小；
(2)若角B的平分线BD长为1，且ac＝2，求△ABC外接圆的面积；
(3)若△ABC为锐角三角形，c＝1，求a＋b的取值范围．
[解析] (1)因为asinB－bcosBcosC＝ccos2B，
由正弦定理得
sinAsinB－sinBcosBcosC＝sinCcos2B?
sinAsinB＝sinCcos2B＋sinBcosBcosC
＝cosB(sinCcosB＋sinBcosC)
＝cosBsin(B＋C)，
所以sinAsinB＝sinAcosB，又sinA>0，
即tanB＝，且B∈(0，π)，即B＝.
(2)由等面积法：×a×|BD|×sin30°＋×c×|BD|×sin30°＝×a×c×sin60°，
即(a＋c)＝ac，即a＋c＝ac＝2，
由余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac
＝(2)2－3×2＝6，则b＝，
设△ABC外接圆半径为R，
则2R＝＝＝2，R＝，
则△ABC外接圆的面积为πR2＝2π.
(3)由△ABC为锐角三角形可得
?
得
由
所以2－
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1．(2025·河北调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a2－2b2＝2cacosB－bc.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝5，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[解析] (1)∵2a2－2b2＝2cacosB－bc，
由余弦定理得，c2＋a2－b2＝2accosB，
所以2(a2－b2)＝c2＋a2－b2－bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝＝.
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)因为△ABC的面积为，
即bcsinA＝×b×c×sin＝，
∴bc＝6.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝25－18＝7.
解得a＝.所以△ABC周长为5＋.
2．(2025·江西赣州十八县(市、区)期中联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝3，a＝7，A＝.
(1)求sinB及c；
(2)求cos(B－C)．
[解析] (1)由正弦定理可得＝，
即sinB＝＝＝，
由余弦定理可得cosA＝，
即＝－，
即c2＋3c－40＝0，解得c＝5或c＝－8(舍)．
(2)由(1)知sinB＝，且B为锐角，
所以cosB＝.
所以cos(B－C)＝cos＝cos
＝cos2Bcos＋sin2Bsin
＝cos2B＋sin2B＝(cos2B－sin2B)＋sinBcosB
＝＋××＝.
3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sinB．
(1)求sinA；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
[解析] (1)∵A＋B＝3C，
∴π－C＝3C，即C＝，
又2sin(A－C)＝sinB＝sin(A＋C)，
∴2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，
∴sinAcosC＝3cosAsinC，
∴sinA＝3cosA，
即tanA＝3，所以00，所以a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理得cosB＝＝，所以B＝.
(2)在△ABC中，由等面积法得
S△ABC＝S△BAD＋S△BCD，
即BC·BA·sinB＝BA·BD·sin＋BC·BD·sin，
即×3×4×＝×4×BD×＋×3×BD×，
所以BD＝.
6．(2025·广东深圳中学诊断)已知在△ABC中，满足asinB－bcosBcosC＝ccos2B(其中a，b，c分别是角A，B，C的对边)．
(1)求角B的大小；
(2)若角B的平分线BD长为1，且ac＝2，求△ABC外接圆的面积；
(3)若△ABC为锐角三角形，c＝1，求a＋b的取值范围．
[解析] (1)因为asinB－bcosBcosC＝ccos2B，
由正弦定理得
sinAsinB－sinBcosBcosC＝sinCcos2B?
sinAsinB＝sinCcos2B＋sinBcosBcosC
＝cosB(sinCcosB＋sinBcosC)
＝cosBsin(B＋C)，
所以sinAsinB＝sinAcosB，又sinA>0，
即tanB＝，且B∈(0，π)，即B＝.
(2)由等面积法：×a×|BD|×sin30°＋×c×|BD|×sin30°＝×a×c×sin60°，
即(a＋c)＝ac，即a＋c＝ac＝2，
由余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac
＝(2)2－3×2＝6，则b＝，
设△ABC外接圆半径为R，
则2R＝＝＝2，R＝，
则△ABC外接圆的面积为πR2＝2π.
(3)由△ABC为锐角三角形可得
?
得
由
所以2－
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