提能训练 练案[30]
A组基础巩固
一、单选题
1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
[答案] C
[解析] ①、③、④错误．②正确．故选C．
2．(2024·北京大兴三模)设a，b是非零向量，“＝”是“a＝b”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由＝表示单位向量相等，则a，b同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a＝b，由a＝b表示a，b同向且模相等，则＝，所以“＝”是“a＝b”的必要而不充分条件．故选B．
3．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
[答案] B
[解析] ∵2＝2＋，∴2－2＝，即2＝，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选B．
4．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A．B．
C．D．
[答案] A
[解析] ＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A．
5．(2024·陕西西安一模)已知点P是△ABC的重心，则( )
A．＝＋B．＝＋
C．＝＋D．＝－
[答案] D
[解析] 设BC的中点为D，连接AD，点P是△ABC的重心，则P在AD上，且＝＝×(＋)＝(2＋)＝＋＝(＋)＋＝－，由此可知A、B、C错误，D正确．故选D．

6．(2025·浙江模拟)已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，＝3e1－6e2，则( )
A．A、B、C三点共线B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线D．B、C、D三点共线
[答案] C
[解析] 因为＝＋＝－2e1＋4e2，＝3e1－6e2，则＝－，故A、C、D三点共线，故C正确．
7．(2025·山东枣庄质检)已知D为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为C．若＝x＋y，则x－y的值为( )
A．－1B．0
C．1D．2
[答案] C
[解析] 因为A关于点O的对称点为C，所以＝－，又＝x＋y，所以＝x－y，又因为A，B，D三点共线，所以x－y＝1.
8．(2025·山西太原模拟)在矩形ABCD中，E为AB边的中点，线段AC和DE交于点F，则＝( )
A．－＋B．－
C．－D．－＋
[答案] D
[解析] 如图，取CD的中点G，连接BG，交AC于点H.

∵BE∥DG，BE＝DG，
∴四边形BEDG为平行四边形，
∴BG∥DE.又E为AB的中点，
∴AF＝FH，同理可得CH＝FH，
∴＝＝(＋)．
∴＝＋＝－＋(＋)＝－＋.
二、多选题
9．(2025·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是( )
A．单位向量都相等
B．模为0的向量与任意向量共线
C．平行向量一定是共线向量
D．任一向量与它的相反向量不相等
[答案] BC
[解析] 对于A，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A错误；对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C正确；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误．故选BC．
10．(2025·福建厦门开学考试)下列命题正确的是( )
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
[答案] BCD
[解析] 零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b是反向共线时＋＝0才成立，故C正确；由向量相等的定义知D正确．故选BCD．
11．(2024·辽宁二模)△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足＝＋＋，则( )
A．O，P，G三点共线
B．＝2
C．2＝＋＋
D．点P在△ABC的内部
[答案] AC
[解析] ＝＋＋＝＋＋＋＋＋＝3＋＋＋，因为点G为△ABC的重心，所以＋＋＝0，所以＝3，所以O，P，G三点共线，故A正确，B错误；＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋＋)＋3，因为＝＋＋，所以(＋＋)＋3＝－＋3＝2，即2＝＋＋，故C正确；因为＝3，所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D错误．故选AC．
三、填空题
12．在平行四边形ABCD中，E为BD的中点，F为BC上一点，则＋－2＝________.
[答案] 2
[解析] 因为E为BD的中点，则＋＝2，所以＋－2＝2－2＝2.
13．(2025·湖南常德月考)给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
③若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上；
④a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向；
⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中真命题的序号是________.
[答案] ③④
[解析] ①是假命题，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②是假命题，若b＝0，则a与c不一定共线；③是真命题，与共线且有公共点B，故有A，B，C三点在同一条直线上；④是真命题，b与－b反向，a与b同向，故a与－b反向；⑤是假命题，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
14．已知e1，e2是两个不共线的单位向量，a＝e1－e2，b＝－2e1＋ke2，若a与b共线，则k＝________.
[答案] 2
[解析] 因为a＝e1－e2与b＝－2e1＋ke2共线，所以b＝λa，即－2e1＋ke2＝λ(e1－e2)，又e1，e2不共线，所以所以k＝2.
B组能力提升
1.(2025·四川百师联盟冲刺卷)如图，平行四边形ABCD中，＝，＝2，设＝a，＝b，则＝( )

A．a－bB．a－b
C．a－bD．a－b
[答案] B
[解析] ＝－＝－＝－＝a－b.故选B．
2．(2025·江苏南通适应性考试)在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，点M是BC的中点，则＝( )
A．－B．＋
C．＋D．＋
[答案] D
[解析] 如图由题意知＝(＋)＝＝＋.故选D．

3.(2025·宁夏吴忠模拟预测)如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )

A．1B．－1
C．D．－
[答案] D
[解析] 由题意知＝＋＝－＋＝－＋(＋)＝－，因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，所以λ＝，μ＝－，λ＋μ＝－，故选D．
4．(2025·湖南长沙质检)已知向量a，b不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b.若c与d共线，则实数x的值为( )
A．1B．－
C．1或－D．－1或－
[答案] C
[解析] 因为c与d共线，所以存在k∈R，使得d＝kc，即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb.因为向量a，b不共线，所以整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝－或x＝1.
5．(2025·山东名校考试联盟期中)已知向量a，b不共线，＝λa＋2b，＝a＋μb，若A，B，C三点共线...