提能训练 练案[32]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2025·湖南“一起考”大联考模拟)已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．－32B．－38
C．－44D．－50
[答案] C
[解析](a＋2b)·(a－3b)＝a2－6b2－a·b＝|a|2－6|b|2－|a||b|cosθ＝42－6×32－4×3cos60°＝－44，故选C．
2．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|＝( )
A．13＋6B．2
C．D．
[答案] D
[解析] ∵a＝(1，1)，∴|a|＝＝.∴a·b＝|a||b|cos45°＝2×＝2.∴|3a＋b|＝＝＝.故选D．
3．(2025·山东百师联盟期中)设向量a＝(2，2)，b＝(－2，6)，c＝(4，2)，且(a－λb)⊥c，则λ＝( )
A．3B．2
C．－2D．－3
[答案] A
[解析] 因为a＝(2，2)，b＝(－2，6)，c＝(4，2)，所以a－λb＝(2＋2λ，2－6λ)；因为(a－λb)⊥c，所以(a－λb)·c＝8(1＋λ)＋4(1－3λ)＝12－4λ＝0，解得λ＝3.故选A．
4．(2024·浙江五校联盟联考)已知向量a＝(1，2)，向量b满足|b|＝2，若a⊥b，则向量a－b与a的夹角的余弦值为( )
A．B．
C．D．
[答案] C
[解析] 由题意，得|a|＝，且(a－b)·a＝a2－a·b＝5－0＝5，|a－b|＝＝＝＝3，设向量a－b与a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.故选C．
5．(2024·北京海淀二模)在△ABC中，∠C＝，CA＝CB＝2，点P满足＝λ＋(1－λ)，且·＝4，则λ＝( )
A．－B．
C．－D．
[答案] B
[解析] 由题可知，·＝0，故·＝[λ＋(1－λ)]·(－)＝－λ||2＋(1－λ)||2＝－8λ＋8(1－λ)＝－16λ＋8，故－16λ＋8＝4，解得λ＝.故选B．
6．(2025·陕西咸阳模拟)已知在边长为1的菱形ABCD中，角A为60°，若点E为线段CD的中点，则·＝( )
A．B．
C．－D．－
[答案] C
[解析] ·＝＝||2－||2＝－1＝－，故选C．

7．(2024·新高考八省联考)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉＝( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] 解法一：设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(，)，
cos〈a，c〉＝＝＝，
∴sin〈a，c〉＝，故选B．
解法二：|c|2＝c2＝(a＋b)2＝7a2＋2a·b＋2b2＝9，∴|c|＝3，
a·c＝a(a＋b)＝a2＋a·b＝，
∴cos〈a，c〉＝＝，∴sin〈a，c〉＝.故选B．
8．(2025·江西赣州十八县(市、区)期中联考)已知向量a，b满足|a|＝2，|2a－3b|＝，且(b－a)⊥b，则|b|＝( )
A．B．
C．3D．
[答案] B
[解析] 由(b－a)⊥b，可知(b－a)·b＝0，得a·b＝b2，故a·b＝|b|2.再由|2a－3b|＝，可得|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝7，将a·b＝|b|2代入，可得3|b|2＝4|a|2－7＝9，解得|b|＝.故选B．
9．(2025·北京通州期末)在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是CD上一点(不与C，D重合)，DE与AF交于G，则·的取值范围是( )
A．B．
C．(0，2)D．(0，3)
[答案] B
[解析] 如图所示：当点F与点C重合时，此时DG最长，易知△ADG∽△CEG，且相似比为2∶1，∠BAD＝∠DCB＝60°，在△DCE中，DE2＝DC2＋CE2－2DC×CE×cos60°＝3，所以DE＝，此时满足DE2＋CE2＝DC2，所以DE⊥CE，所以∠ADE＝90°，此时DG＝DE＝，由图可知，DG∈，则·＝(＋)·＝·＋2＝||2∈.故选B．

二、多选题
10．(2025·广东实验中学阶段测试)已知向量a＝(4，3－m)，b＝(1，m)，则下列说法正确的是( )
A．若a⊥b，则m＝4
B．若m＝，则a∥b
C．|a＋2b|的最小值为6
D．若a与b的夹角为锐角，则－10，解得－111．(2025·江苏泰州靖江调研)已知向量a＝(，m)，b＝(0，1)，则下列说法正确的是( )
A．若|a|＝2，则a·b＝1
B．不存在实数m，使得a∥b
C．若向量a⊥(a－4b)，则m＝1或m＝3
D．若向量a在b向量上的投影向量为－b，则a，b的夹角为
[答案] BCD
[解析] |a|＝＝＝2，所以m＝±1，所以a·b＝±1，故A错误；若得a∥b，则1×＝0，显然不成立，故B正确；因为a－4b＝(，m－4)，若向量a⊥(a－4b)，则a·(a－4b)＝3＋m(m－4)＝0?m＝1或m＝3，故C正确；设a，b的夹角为θ(θ∈[0，π])，则向量a在b向量上的投影向量为·＝mb＝－b所以m＝－1，又因为向量a在b向量上的投影向量为·＝|a|··cosθ＝·cosθ·b＝2cosθ·b＝－b，所以cosθ＝－，则a，b的夹角为，故D正确．故选BCD．
三、填空题
12．(2025·山西吕梁期中)已知向量a＝(2，3)，b＝，且(a＋2b)∥a，则m＝________.
[答案] 1
[解析] 由向量a＝(2，3)，b＝，则a＋2b＝(2＋2m，6)，又(a＋2b)∥a，则2×6＝3(2＋2m)，解得m＝1.
13．(2024·陕西西安八校联考)已知单位向量e1⊥e2，向量a＝λe1－2e2，b＝2e1＋e2，若a⊥b，则实数λ＝________.
[答案] 1
[解析] 因为a⊥b，所以a·b＝(λe1－2e2)·(2e1＋e2)＝2λe＋(λ－4)e1·e2－2e＝2λ－2＝0，故λ＝1.
14．(2025·湖北鄂东南省级示范性高中教育教学改革联盟期中)已知两个单位向量a，b满足|a－b|＝1，则向量2a－b和a的夹角为________.
[答案]
[解析] 因为向量a，b为单位向量，所以|a|＝1，|b|＝1，又|a－b|＝1，所以a2＋b2－2a·b＝1，所以a·b＝，所以(2a－b)·a＝2a2－a·b＝，|2a－b|＝＝＝，所以cos〈2a－b，a〉＝＝＝，又〈2a－b，a〉∈[0，π]，所以〈2a－b，a〉＝.
B组能力提升
1．(2023·高考北京卷)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝( )
A．－2B．－1
C．0D．1
[答案] B
[解析] 向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，所以|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)＝2×(－2)＋3×1＝－1.故选B．
2．(2025·山西大同统测)已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为，则cos〈b，c〉＝( )
A．－B．
C．D．－
[答案] D
[解析] 因为c＝－a－b，a·b＝2××＝3，所以b·c＝b·(－a－b)＝－a·b－b2＝－3－3＝－6，因为c2＝[－(a＋b)]2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋6＋3＝13，所以|c|＝，cos〈b，c〉＝＝－＝－，故选D．
3．(多选题)(2024·江西景德镇质检)等边△ABC边长为2，＝2，＝，BD与CE交于点F，则( )
A．＝＋
B．＝
C．·＝－1
D．在方向上的投影向量为
[答案] BD
[解析] 由题意可得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，A错误；以E为坐标原点，、分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，)，D，设F(0，y)，y∈(0，)，所以＝(1，y)，＝，因为∥，所以y－＝－y，解得y＝，所以＝，B正确；由B可知，＝，＝(0，－)，所以·＝×0＋×(－)＝－2，C错误；＝，＝(1，)，所以·＝×1＋×＝，所以在方向上的投影向量为·＝·＝，D正确．故选BD．

4．(2025·山东德州期中)已知正三角形ABC的边长为2，O为BC中点，P为边BC上任意一点，则·＝________.
[答案] 3
[解析] 因为三角形ABC是正三角形，O为BC中点，所以AO⊥BC，所以AO⊥OP，又正三角形ABC的边长为2，所以AO＝＝，所以·＝(＋)·＝2＋·＝()2＝3.
5．(2024·浙江台州六校期中联考)已知|a|＝|b|＝a·b＝2，c＝(2－4λ)a＋λb，则(c－a)·(c－b)的最小值为________.
[答案] －
[解析] ∵c－a＝(1－4λ)a＋λb，c－b＝(2－4λ)a＋(λ－1)b，∴(c－a...