提能训练 练案[33]
A组基础巩固
一、单选题
1．若O为△ABC内一点，||＝||＝||，则O是△ABC的( )
A．内心B．外心
C．垂心D．重心
[答案] B
[解析] 由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B．
2．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹是( )
A．圆B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
[答案] D
[解析] 因为＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，所以·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D．
3．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为( )
A．1B．
C．D．2
[答案] B
[解析] ∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，
∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)．
∴|a－b|＝＝.
∴|a－b|最大值为.故选B．
4．(2025·山东济宁期中)向量a＝(1，2)，b＝(－1，1)，则a在b上的投影向量是( )
A．－B．－
C．D．
[答案] C
[解析] 由题意可知，a在b上的投影向量为：＝(－1，1)＝，故选C．
5．(2025·黑龙江大庆实验中学质检)△ABC中，设＝c，＝a，＝b，若c·(b－c－a)>0，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．无法确定
[答案] A
[解析] ∵c·(c＋a－b)<0，∴·(＋－)＝·2<0，∴角A为钝角，故选A．
6．(2025·陕西适应性检测)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝4，且(a－2b)⊥a，则|a－b|＝( )
A．5B．4
C．3D．2
[答案] B
[解析] 因为(a－2b)⊥a，故a2－2a·b＝0，故a·b＝2，故(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝20－4＝16，故|a－b|＝4，故选B．
7.(2024·福建厦门大学附中期中)如图，在△ABC中，＝，E为线段AD上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为( )

A．8B．12
C．16D．32
[答案] D
[解析] 由题意知＝x＋3y，又A、E、D共线，∴x＋3y＝1，∴＋＝(x＋3y)＝20＋＋≥20＋2＝32.(当且仅当x＝y＝时取等号)即＋的最小值为32.故选D．
8．(2024·山西朔州怀仁期中)P是△ABC所在平面上一点满足|－|－|＋－2|＝0，△ABC的形状是( )
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
[答案] B
[解析] 由|－|－|＋－2|＝0，可得||＝|＋－2|，即||＝|＋|，即|－|＝|＋|，将等式|－|＝|＋|两边平方，化简得·＝0，∴⊥，即AB⊥AC，因此，△ABC是直角三角形，故选B．
9.(2025·重庆质检)在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上任意一点(点E与B，D不重合)，且||2＝||2＋·，||＝·＝2，则四边形ABCD的面积为( )

A．B．2
C．2D．2
[答案] D
[解析] ||2＝||2＋·?2＝2＋·?(－)(＋)＋·＝0?·(＋＋)＝·(＋)＝0，又四边形ABCD是?ABCD，所以＋＝，所以·＝0，所以⊥，所以AB＝AD，所以?ABCD为菱形．由||＝·＝2，所以cos〈，〉＝＝＝，所以角A＝60°，所以S?ABCD＝AB×AD×sinA＝2×2×＝2.故选D．
二、多选题
10．(2024·江西八校协作体月考改编)已知向量a＝(，1)，b＝(cosθ，sinθ)，则下列说法正确的是( )
A．存在θ∈，使得a⊥b
B．存在θ∈，使得a∥b
C．对于任意θ∈，a，b∈(1，2]
D．对于任意θ∈，|a－b|∈[1，)
[答案] BCD
[解析] a·b＝cosθ＋sinθ＝2sin，若a⊥b，则2sin＝0，因为θ∈，此时θ无解，故A错误；若a∥b，则sinθ－cosθ＝0，因为θ∈，所以θ＝，故B正确；a·b＝2sin，因为θ∈，所以θ＋∈，则sin∈，所以a·b＝2sin∈(1，2]，故C正确；|a－b|＝＝，因为θ∈，则θ－∈，所以cos∈，则|a－b|∈[1，)，故D正确．故选BCD．
11．(2024·甘肃酒泉四校期中联考)下列说法中错误的有( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．已知向量e1＝(3，－2)，e2＝，则{e1，e2}不能作为平面向量的一个基底
C．已知a＝(1，2)，b＝(m，1)，若a⊥b，则实数m的值为1
D．O是△ABC所在平面内一点，且满足·＝·＝·＝0，则点O是△ABC的内心
[答案] AC
[解析] 若b＝0，则不共线的a，c也有a∥0，0∥c，故A选项错误；e1＝3e2，则e1∥e2，则{e1，e2}不能作为平面向量的一个基底，故B选项正确；a＝(1，2)，b＝(m，1)，若a⊥b，则a·b＝m＋2＝0，得m＝－2，故C选项错误；因为·＝·＝·＝0，由·＝0可知，垂直于∠BAC的外角平分线，所以点O在∠BAC的角平分线上，同理点O在∠ABC的角平分线上，点O在∠ACB的角平分线上，所以O是△ABC的内心．故D选项正确．故选AC．
12．(2024·贵州贵阳一中期中)在给出的下列命题中，正确的是( )
A．设O，A，B，C是同一平面上的四个点，若＝m·＋(1－m)·(m∈R)，则点A，B，C必共线
B．若向量a，b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c＝λa＋μb(μ，λ∈R)，且表示方法是唯一的
C．若A＝45°，a＝2，b＝2，则△ABC只有一解
D．已知平面向量，，满足·＝·，＝λ，则△ABC为等边三角形
[答案] AC
[解析] 若＝m·＋(1－m)·，则－＝m(－)，即＝m，则∥，且有公共点C，故A，B，C共线，故A正确；根据平面向量基本定理可得若a，b共线，则不满足题意，故B错误；由正弦定理＝，即＝，则sinB＝1，又0°三、填空题
13．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值为________.
[答案]
[解析] 由于a，b垂直，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，(a－c)·(b－c)＝x2＋y2－x－y＝0，|c|＝表示(x，y)到原点(0，0)的距离，x2＋y2－x－y＝0表示圆心，为半径的圆，因此|c|的最大值为.
14．(2024·山东曲阜师大附中综合测试)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|a－b|＝3，|a－c|＝2，则b·c的最大值为________.
[答案] 30
[解析] 不妨设＝a＝(3，0)，＝b，＝c，由题意易知B在以A为圆心，以3为半径的圆上；C在以A为圆心，以2为半径的圆上，显然当B、C分别为两圆与x轴的交点N，M时，b·c最大，且为30.

B组能力提升
1．(2025·邵阳大联考)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
[答案] A
[解析] 由题意得acos＝bcos，acos＝ccos，由正弦定理得sinAcos＝sinBcos?sin＝sin?B＝A，同理可得C＝A，所以△ABC为等边三角形．故选A．
2．(2025·辽宁沈阳五校期中)已知向量a＝(sinθ，cosθ)，b＝(，1)，若a·b＝|b|，则tanθ＝( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] 由a·b＝|b|?sinθ＋cosθ＝＝，
又sin2θ＋cos2θ＝1，
故sin2θ＋(－sinθ)2＝1，
即3sin2θ－2sinθ＋2＝0，解得sinθ＝，
故cosθ＝－sinθ＝－＝，
故tanθ＝＝×＝.故选B．
3．(2025·河南濮阳期中)已知在△ABC中，H为△ABC的垂心，O是△ABC所在平面内一点，且...