提能训练 练案[34]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2025·广东部分学校联考)已知复数z＝2i(1－i)＋1，则|z|＝( )
A．B．
C．5D．13
[答案] B
[解析] z＝2i(1－i)＋1＝2i－2i2＋1＝3＋2i，所以|z|＝＝.故选B．
2．(2024·全国甲卷)设z＝5＋i，则i(＋z)＝( )
A．10iB．2i
C．10D．－2
[答案] A
[解析] 由z＝5＋i?＝5－i，z＋＝10，则i(＋z)＝10i.故选A．
3．(2025·甘肃兰州西北师大附中诊断)若复数z满足(1＋i)z＝|2＋i|，则复数z的虚部是( )
A．－B．－i
C．D．i
[答案] A
[解析] 由于|2＋i|＝，所以z＝＝＝(1－i)＝－i，故复数z的虚部是－，故选A．
4．(2025·陕西西安八校联考)i是虚数单位，若复数z＝，则z的共轭复数＝( )
A．－iB．＋i
C．－＋iD．－i
[答案] A
[解析] 依题意，z＝＝＝＝＋i，所以＝－i.故选A．
5．(2025·湖南名校联考联合体摸底)已知复数z1＝2－i，z2＝a＋i(a∈R)，若复数z1·z2为纯虚数，则实数a的值为( )
A．－B．
C．－2D．2
[答案] A
[解析] 由已知，复数z1·z2＝(2－i)(a＋i)＝(2a＋1)＋(2－a)i为纯虚数，所以得a＝－，故选A．
6．已知复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，若z是关于x的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，则实数m＝( )
A．2B．－2
C．1D．－1
[答案] A
[解析] 依题意可得(1＋2i)2－m(1＋2i)＋5＝0，即2－m＋(4－2m)i＝0，所以解得m＝2.故选A．
7．(2024·山东烟台三模)若复数z满足|z|＝|z－2－2i|，则|z|的最小值为( )
A．1B．
C．D．2
[答案] B
[解析] 若复数z满足|z|＝|z－2－2i|，则由复数的几何意义可知复数z对应的点集是线段OA的垂直平分线，其中O(0，0)，A(2，2)，所以|z|的最小值为|OA|＝＝.故选B．
8．(2024·福建漳州质检)若复数z＝，则|iz－2|＝( )
A．B．2
C．D．
[答案] C
[解析] 复数z＝＝＝－＋i，则＝－－i，所以iz－2＝－i－＋＋i＝1＋i，所以|iz－2|＝|1＋i|＝，故选C．
二、多选题
9．(2025·江苏徐州邳州质检)在复平面内，若复数z对应的点为(1，3)，则( )
A．z＋＝2B．z2＝10
C．z＝10D．|z－|＝5
[答案] AC
[解析] 由题意可得z＝1＋3i，则＝1－3i，z＋＝2，故A正确；z2＝(1＋3i)(1＋3i)＝1＋3i＋3i＋9i2＝－8＋6i≠10，故B错误；z＝(1＋3i)(1－3i)＝12－(3i)2＝1＋9＝10，故C正确；z－＝(1＋3i)－＝1＋3i－＝1＋3i－＝1＋3i－(4＋2i)＝－1＋2i，|z－|＝＝，故D错误．故选AC．
10．(2025·山东百师联盟期中联考)已知方程x2＋2x＋4＝0的两个复数根为z1，z2，则下列说法正确的有( )
A．z1＋z2＝－2B．z＝z2
C．z1z2＝4D．|z1|＝2
[答案] ACD
[解析] 方程x2＋2x＋4＝0的两个复数根为z1，z2，由一元二次方程根与系数的关系得z1＋z2＝－2，z1z2＝4，A、C正确；x2＋2x＋4＝0的两个复数根为＝－1±i，若z1＝－1＋i，z2＝－1－i，则z＝(－1＋i)2＝1－2i＋3i2＝－2－2i≠z2，B错误；由B选项知，z1＝－1＋i或－1－i，均有|z1|＝＝2，D正确．故选ACD．
11．(2025·重庆质检)已知两个复数z1与z2，下列结论错误的是( )
A．若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数
B．若|z1|>|z2|，则z1>z2
C．若|z1|＝1，|z2|＝2，则|z1＋z2|＝3
D．若|z1－i|＝1，则|z1＋1|的最大值为＋1
[答案] ABC
[解析] 若z1＝1－i，z2＝i，z1与z2并不互为共轭复数，A错误；虚数不能比较大小，比如z1＝1－i，z2＝i，|z1|>|z2|，但z1，z2无法比较大小，B错误；由于|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，C错误；设z1在复平面对应的点为Z1，由|z1－i|＝1，可知点Z1的集合是以(0，1)为圆心，1为半径的圆．|z1＋1|表示点Z1到(－1，0)的距离，所以|z1＋1|最大值为＋1，D正确．故选ABC．

三、填空题
12．(2024·河南豫北名校联考)已知a∈R，若复数z＝a2－a－2＋(a2＋3a＋2)i为纯虚数，则a＝________.
[答案] 2
[解析] 因为z＝a2－a－2＋(a2＋3a＋2)i为纯虚数，所以解得a＝2.
13．(2025·重庆名校联盟联考)复数z＝(3＋i)(1－4i)，则复数z的实部与虚部之和是________.
[答案] －4
[解析] z＝(3＋i)(1－4i)＝3－12i＋i＋4＝7－11i，故实部和虚部之和为7－11＝－4.
14．(2025·浙江新高考研究联盟联考)若复数z满足z＋＝2，z·＝2，则|z－2|＝________.
[答案]
[解析] 设z＝a＋bi，a，b∈R，则＝a－bi，z＋＝2a＝2，解得a＝1，由z·＝2，得a2＋b2＝2，解得b2＝1，又z－2＝－a＋3bi，所以|z－2|＝＝.
B组能力提升
1．(2025·黑龙江龙东地区联考)已知复数z(2－i)＝4＋3i，则z的共轭复数是( )
A．1＋2iB．－1＋2i
C．1－2iD．－1－2i
[答案] C
[解析] 由z(2－i)＝4＋3i，
可得：z＝＝＝1＋2i，
所以z的共轭复数是1－2i.故选C．
2．(2025·云南大理统测)已知复数z满足(z－i)(1－i)＝3＋i，则z的共轭复数在复平面中的对应点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[答案] D
[解析] z＝＋i＝＋i＝1＋3i，故＝1－3i，其对应的点为(1，－3)，该点在第四象限．故选D．
3．(2025·湖南联考)已知i为虚数单位，复数z满足|z＋1|＝|z＋i|＝，则|z|的值为( )
A．1B．
C．或2D．1或
[答案] C
[解析] 设z＝a＋bi，a，b∈R，
则z＋1＝(a＋1)＋bi，z＋i＝a＋(b＋1)i，
因为|z＋1|＝|z＋i|＝，
所以?或
当a＝b＝1时，|z|＝；
当a＝b＝－2时，|z|＝2.故选C．
4．(2025·浙江金华一中模拟)若复数z满足z＋i＝2i(z－i)，则|z|＝( )
A．1B．
C．D．2
[答案] A
[解析] 由题意可知，复数z满足z＋i＝2i(z－i)，则可转化为z＝＝＝＋i，所以|z|＝＝1.故选A．
5．(2024·江苏泰州模拟)若复数z1，z2满足|z1－3i|＝2，|z2－4|＝1，则|z1－z2|的最大值是( )
A．6－B．6＋
C．7D．8
[答案] D
[解析] 设z1＝a＋bi，a，b∈R，z2＝x＋yi，x，y∈R，
因为|z1－3i|＝2，|z2－4|＝1，
所以a2＋(b－3)2＝4，(x－4)2＋y2＝1，
所以点Z1(a，b)的轨迹为以(0，3)为圆心，2为半径的圆，
点Z2(x，y)的轨迹为以(4，0)为圆心，1为半径的圆，
又|z1－z2|表示点Z1(a，b)与Z2(x，y)的距离，
所以|z1－z2|的最大值是＋3＝8，故选D．
C组拓展应用(选作)
(2025·豫西北教研联盟联考)已知复数z满足z(4－3i)＝2＋i，则|z|＝________.
[答案]
[解析] 解法一：由题意知|z|·|4－3i|＝|2＋i|，
∴|z|＝＝.
解法二：由题意知z＝＝＝＝＋i，∴|z|＝＝.
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