提能训练 练案[35]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2025·河南期中)数列，－，，－，…的一个通项公式为( )
A．(－1)nB．(－1)n－1
C．(－1)nD．(－1)n－1
[答案] D
[解析] 设该数列为{an}，
a1＝，a2＝－，a3＝，a4＝－.
a1＝－，不满足题意，故A错误；
a3＝，不满足题意，故B错误；
a1＝－，不满足题意，故C错误；
a1＝，a2＝－，a3＝，a4＝－，均满足题意．故选D．
2．已知数列，，，3，，…，则5是这个数列的( )
A．第11项B．第12项
C．第13项D．第14项
[答案] B
[解析] 根据题意，归纳数列的通项公式，进而可得an＝＝5，解可得答案．根据题意，数列，，，3，，…，则通项公式an＝，若an＝＝5，解可得n＝12，即5是这个数列的第12项，故选B．
3．(2025·四川成都外国语学校模拟改编)已知数列{an}满足2an＋1－2＝an·an＋1，且a1＝3，则a2026＝( )
A．3B．
C．－2D．
[答案] C
[解析] 由题意数列{an}满足2an＋1－2＝an·an＋1，则an＋1＝，故由a1＝3，得，a2＝＝－2，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝3，由此可知数列{an}的周期为4，故a2026＝a4×506＋2＝a2＝－2，故选C．
4.(2024·广东汕头三模)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．已知一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为( )

A．464B．465
C．466D．467
[答案] B
[解析] 设三角垛第n层小球的个数为an.由题意可知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4.所以，当n≥2时，有an＝an－1＋n.即an－an－1＝n.所以，a30＝(a30－a29)＋(a29－a28)＋…＋(a2－a1)＋a1＝30＋29＋…＋2＋1＝＝465.故选B．
5．若数列{an}的前n项和Sn满足3Sn＝2an－1，则a5＝( )
A．32B．
C．－D．－16
[答案] D
[解析] 解法一：因为3Sn＝2an－1，所以当n≥2时，3Sn－1＝2an－1－1，两式作差得3an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝－2an－1(n≥2)，又当n＝1时，3S1＝2a1－1，所以a1＝－1，所以数列{an}是以－1为首项，－2为公比的等比数列．所以an＝－1×(－2)n－1，则a5＝－1×(－2)5－1＝－16.故选D．
解法二：因为3Sn＝2an－1，所以当n≥2时，3Sn＝2(Sn－Sn－1)－1，整理得Sn＝－2Sn－1－1(n≥2)，即Sn＋＝－2(n≥2)，又当n＝1时，3S1＝2a1－1，所以S1＝－1，所以S1＋＝－，所以数列是以－为首项，－2为公比的等比数列．所以Sn＋＝－×(－2)n－1，Sn＝－×(－2)n－1－，则a5＝S5－S4＝－×[16－(－8)]＝－16.故选D．
6．(2025·辽宁沈阳交联体期中)已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－1B．an＝n－1
C．an＝nD．an＝n2
[答案] C
[解析] 解法一：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，＝，∴为常数列，即＝＝1，所以an＝n.故选C．
解法二：当n＝1时，a1＝a2－a1，∴a2＝2，否定A、B、D，故选C．
7．(2025·重庆质检)将正整数如图排列，第n行有n个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为a1，再从a1开始从右往下碰到5，记为a2，接着从a2开始，从左往下碰到8，记为a3，….依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为a1，a2，…，an，…，构成数列{an}．则a10＝( )

A．59B．60
C．61D．62
[答案] C
[解析] 由题意得a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝5，…，
所以a2n－a2n－1＝2n＋1，a2n＋1－a2n＝2n＋1.
因此a10＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a10－a9)＝61.
8．(2024·浙江宁波二模)已知数列{an}满足an＝λn2－n，对任意n∈{1，2，3}都有an>an＋1，且对任意n∈{n|n≥7，n∈N}都有anan＋1，
所以数列{an}在[1，3]上是递减数列，
因为对任意n∈{n|n≥7，n∈N}都有ana6
C．S5＝22D．S6>S5
[答案] BC
[解析] 因为an＝所以a1＝4，a2＝－2，a3＝10，a4＝－6，a5＝16，a6＝－10，a7＝22，所以A错误，B正确；S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝4＋(－2)＋10＋(－6)＋16＝22，故C正确；因为a6＝－10，所以S6－S5＝a61
B．数列{an}可能为常数列
C．若02，则数列{an}为递减数列
[答案] BCD
[解析] 由a－an＋1＝an知an＋1(an＋1－1)＝an，
又对于任意的n∈N*都有an>0，则an＋1－1>0，
即an＋1>1，即对于任意的n≥2，都有an>1，
所以a1的值不确定大小，故A错误；
不妨设数列{an}可能为常数列，则an＝an＋1，
又a－an＋1＝an，则a－an＝an，则an＝2，
即a1＝2时，数列{an}为常数列，故B正确；
若00，即数列{an}为递增数列，即当n≥2时，a12，则02，即a2>2，
同理，当n≥2，都有an>2，
即an＋1－an＝2an＋1－a＝an＋1(2－an＋1)an，则a1的取值范围为____________.
[答案](0，1)∪(3，＋∞)
[解析] 因为an＋1＝(a＋3)，又对一切n∈N*，都有an＋1>an成立，因此对一切n∈N*，(a＋3)>an?a－4an＋3>0，解得an3对一切n∈N*成立，于是a13，又数列{an}的首项为正数，即有03，所以a1的取值范围为(0，1)∪(3，＋∞)．
B组能力提升
1．(2024·陕西咸阳三模)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，则a7＝( )
A．43B．46
C．37D．36
[答案] C
[解析] 解法一：由题得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1＋1＝＋1＝n2－2n＋2(n≥2)，所以a7＝72－2×7＋2＝37.
解法二：由题a1＝1，an＋1－an＝2n－1，所以a7＝(a7－a6)＋(a6－a5)＋…＋(a2－a1)＋a1＝11＋9＋7＋5＋3＋1＋1＝37.故选C．
2．(2025·山东枣庄滕州期中)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，……，以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a11＝( )

A．34B．55
C．89D．144
[答案] D
[解析] 依题意，an＝an－1＋an－2(n∈N*，n≥3)，a1＝1，a2＝2，所以a3＝3，a4＝5，a5＝8，a6＝13，a7＝21，a8＝34，a9＝55，a10＝89，a11＝144.故选D．
3．(2024·陕西榆林三模改编)现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2026个被报出的数应该为( )
A．2B．4
C．6D．8
[答案] B
[解析] 报出的数字依次是1，2，2，4，8，2，6，2，2，4，8，2，6，…，除了首项以外是个周期为6的周期数列．去掉首项后的新数列第一项为2，因为2025＝337×6＋3，所以原数列第2026个被报出的数应该为4.故选B．
4．(多选题)(2025·广东肇庆模拟)将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是( )

A．37B．58
C．67D．79
[答案] ACD
[解析] 不妨设第n(n∈N*)个“拐弯数”为an，不难发现a1＝2，a2＝4＝a1＋2，a3＝7＝a2＋3，a4＝11＝a3＋4，…，所以an－an－1＝n(n≥2)，利用累加法得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，因而an＝，当n＝1时，也符合上...