提能训练 练案[36]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2024·陕西商洛模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且满足a2＝4，S4＝22，则S5＝( )
A．65B．55
C．45D．35
[答案] D
[解析] 设数列的公差为d，则S4＝(4－d)＋4＋(4＋d)＋(4＋2d)＝22，∴d＝3，∴a3＝a2＋d＝7，S5＝＝5a3＝35.故选D．
2．(2023·湖北咸宁联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S5＝10，则{an}的公差为( )
A．B．
C．D．
[答案] C
[解析] 由题意知a1＋a2＝3①，S5＝＝10，即a1＋a5＝4②，②－①得3d＝1，∴d＝，故选C．
3．(2024·九省联考试题)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝( )
A．120B．140
C．160D．180
[答案] C
[解析] ∵a3＋a7＝2a5，∴a5＝3，∴a5＋a12＝20，又∵a1＋a16＝a5＋a12，∴S16＝＝160.故选C．
4．(2025·四川眉山一中期中)在等差数列{an}中，a6＝3，则a5＋a8－a9＝( )
A．2B．3
C．4D．5
[答案] D
[解析] 因为a6＝3，令{an}的公差为d，则a5＋a8－a9＝a6－d＋a6＋2d－(a6＋3d)＝a6＝5，故选D．
5．(2025·山东青岛部分学校质检)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13的值为( )
A．10B．20
C．30D．40
[答案] D
[解析] 由题设a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100?a7＝20，所以a1＋a13＝2a7＝40.故选D．
6．(2024·全国甲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝( )
A．－2B．
C．1D．
[答案] D
[解析] 解法一：由S9＝1，根据等差数列的求和公式，S9＝9a1＋d＝1?9a1＋36d＝1，又a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝(9a1＋36d)＝.故选D．
解法二：根据等差数列的性质，a1＋a9＝a3＋a7，由S9＝1，根据等差数列的求和公式，S9＝＝＝1，故a3＋a7＝.故选D．
7．(2025·浙江名校新高考研究联盟联考)已知等差数列{an}前n项和为Sn，若＝，则＝( )
A．B．
C．D．
[答案] D
[解析] 在等差数列{an}中，由＝，得＝＝＝×＝.故选D．
8．(2025·山东新高考联合质量测评)已知{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若S90，则当Sn取得最小值时，n＝( )
A．3B．6
C．7D．8
[答案] C
[解析] 因为{an}为等差数列，若S90，则S9－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝5a70，即a8>0，故公差d＝a8－a7>0，当Sn取得最小值时，n＝7.故选C．
二、多选题
9．在等差数列{an}中，其前n项的和是Sn，若a1＝－9，d＝3，则( )
A．{an}是递增数列
B．其通项公式是an＝3n－12
C．当Sn取最小值时，n的值只能是3
D．Sn的最小值是－18
[答案] ABD
[解析] 由d＝3>0，可知等差数列{an}为递增数列，A正确；由题设，an＝a1＋(n－1)d＝－9＋3(n－1)＝3n－12，B正确；Sn＝＝＝，故当n＝3或4时，Sn取最小值且为－18，故C错误，D正确．故选ABD．
10．(2025·江西赣州十八县期中联考改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a5＝26，S5＝45，则下列说法正确的是( )
A．nan的最小值为1
B．数列为递减数列
C．数列为递增数列
D．nSn的最小值为1
[答案] ACD
[解析] 设数列{an}的公差为d，
由S5＝＝5a3＝45，所以a3＝9.
又a3＋a5＝2a4＝26，a4＝13，所以d＝4，a1＝1，
所以an＝4n－3，Sn＝n(2n－1)．
nan＝n(4n－3)＝42－，所以当n＝1时，
nan的最小值为1，A正确；
＝－＋，因为＝1，＝，
所以数列不是递减数列，B错误；
＝2n－1，所以数列为递增数列，C正确；
nSn＝n2(2n－1)，令f(x)＝2x3－x2，所以f′(x)＝6x2－2x，令f′(x)>0，得x，
所以f(x)在区间上单调递增，
所以当n＝1时，nSn取得最小值1，D正确．故选ACD．
三、填空题
11．(2025·浙江金华模拟)已知数列{an}为等差数列，a1＝1，a2＋a3＝8，则a6＝________.
[答案] 11
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝1，所以a2＋a3＝2a1＋3d＝2＋3d＝8，
解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝1＋5×2＝11.
12．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.
[答案] 25
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，
则a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.
解得d＝1.
所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.
13．(2025·湖南郴州模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＋S7＝24，则19a3＋a11＝________.
[答案] 48
[解析] 由数列前n项和的性质可知：S3＋S7＝3a2＋7a4＝10a1＋24d＝24，即5a1＋12d＝12，则19a3＋a11＝20a1＋48d＝4(5a1＋12d)＝48.
四、解答题
14．(2025·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足an·Sn＝(Sn－1)2.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析] (1)证明：当n＝1时，由an·Sn＝(Sn－1)2得a1＝S1＝，
当n≥2时，由an·Sn＝(Sn－1)2有(Sn－Sn－1)·Sn＝(Sn－1)2，
所以Sn＝，则－＝－＝－＝＝－1，
又＝－2.
所以数列是以－2为首项，以－1为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝－2－(n－1)＝－n－1，
所以Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝.
当n＝1时，a1＝也满足an＝.
所以数列{an}的通项公式为an＝.
B组能力提升
1．(2025·黑龙江龙东地区联考)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若2a1＋3a11＝20，则S13＝( )
A．39B．52
C．65D．78
[答案] B
[解析] 设{an}公差为d，由2a1＋3a11＝20＝5a7，所以a7＝4.∴S13＝＝＝13a7＝52，故选B．
2．(2025·安徽六校测评)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝4，－＝－8，则当Sn取得最大值时，n的值为( )
A．5B．6
C．5或6D．6或7
[答案] C
[解析] －＝－＝＝2d＝－8，则d＝－4，由于a5＝4，所以an＝4＋(n－5)×(－4)＝－4n＋24，则等差数列{an}是首项为正的单调递减数列，令an＝0，解得n＝6，所以当n＝5或6时，Sn取得最大值．故选C．
3．(多选题)(2025·山东济宁期中)设数列{an}前n项和为Sn，满足(an－1)2＝4(100－Sn)，n∈N*且a1>0，an＋an－1≠0(n≥2)，则下列选项正确的是( )
A．an＝2n－23
B．数列为等差数列
C．当n＝10时，Sn有最大值
D．设bn＝anan＋1an＋2，则当n＝8或n＝10时，数列{bn}的前n项和取最大值
[答案] BCD
[解析] 当n＝1时，(a1－1)2＝4(100－a1)，
解得a1＝19或a1＝－21，因为a1>0，所以a1＝19，
当n≥2时，由(an－1)2＝4(100－Sn)，n∈N*
得(an－1－1)2＝4(100－Sn－1)，n∈N*，
所以(an－1)2－(an－1－1)2＝4(100－Sn)－4(100－Sn－1)，
整理得(an＋an－1)(an－an－1＋2)＝0，
因为an＋an－1>0，所以an－an－1＋2＝0，
即an－an－1＝－2，
所以数列{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，
所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21，故A错误；
由an＝－2n＋21可知，
Sn＝19n＋×(－2)＝－n2＋20n，
所以＝＝－n＋20，
所以－＝－(n＋1)＋20－(－n＋20...