提能训练 练案[39]
A组基础巩固
1．(2025·山东青岛黄岛期中)记数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a2是a1和a4的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足：b1＝a1－1，b2＝a3＋3，bn＋2＝3bn＋1－2bn－10，
①求证：{bn＋1－bn－10}为等比数列；
②求bn取最大值时n的值．
[解析] (1)设{an}的公差为d，
则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
所以d2－a1d＝0即d2－2d＝0，而d≠0，故d＝2，
故an＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)①证明：b1＝a1－1＝1，b2＝a3＋3＝9，
而bn＋2＝3bn＋1－2bn－10，
故bn＋2－bn＋1－10＝2(bn＋1－bn－10)，
而b2－b1－10＝－2≠0，bn＋1－bn－10≠0，
所以＝2，
所以{bn＋1－bn－10}为等比数列且公比为2，首项为－2.
②由①可得bn＋1－bn－10＝－2×2n－1，
所以bn＋1－bn＝10－2n，
故当1≤n≤3时，bn＋1－bn>0，当n≥4时，
bn＋1－bnb5>…>bn>…，
故bn取最大值时n＝4.
2．(2025·天津部分区期中联考)已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝1，b1＝2，a4＝2a2，b4＝4(b3－b2)．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
由a1＝1，a4＝2a2，可得d＝1，所以an＝n
由b1＝2，b4＝4(b3－b2)，又q≠0，
可得q2－4q＋4＝0，解得q＝2，
从而{bn}的通项公式为bn＝2n.
(2)设数列的前n项和为Tn.因为＝，
所以Tn＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n，
Tn＝1×2＋2×3＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1，
两式相减得，
Tn＝1＋2＋3＋…＋n－n×n＋1
＝－n×n＋1＝－n＋1，
即Tn＝－n，n∈N*.
3．(2025·江苏镇江期中模拟)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，已知a3＋3a4＝S5，a1a5＝S4，数列{bn}满足bn＝3bn－1＋2n－1(n≥2)，且b1＝a1－1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
(3)求证：对于任意正整数n，＋＋…＋0，
可知{Tn}是单调递增数列，且>0，
可得Tn＝9－<9，
因为对任意的n∈N*，Tn<2λ－1恒成立，
可得9≤2λ－1，解得λ≥5，
所以λ的取值范围为[5，＋∞)．
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