提能训练 练案[41]
A组基础巩固
一、单选题
1．给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．
其中正确命题的个数是( )
A．0B．1
C．3D．4
[答案] B
[解析] 只有②正确，故选B．
2．(2024·宁夏银川三模)A，B是两个不同的点，α，β为两个不同的平面，下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A∈l，l?α?A∈α
[答案] C
[解析] 直线上两个不同点在某个平面内，则直线在该平面内，故A正确；两个不同点同时在两个不同平面内，则两点所在直线为两平面的交线，故B正确；l?α有两种情况，l与α相交或l∥α，其中l与α相交，且交点为A点，则C错误；直线在面内，则直线上的点都在面内，故结论D正确．故选C．
3．(2024·福建福州三模)在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则( )
A．AE＝CF，AC与EF是共面直线
B．AE≠CF，AC与EF是共面直线
C．AE＝CF，AC与EF是异面直线
D．AE≠CF，AC与EF是异面直线
[答案] D
[解析] 如图，在底面半径为1的圆柱OO1中，母线AB＝2，BC＝2，E是的中点，则BE＝CE＝，因为F是AB的中点，又AB＝2，则BF＝1，AE＝＝＝，CF＝＝＝，∴AE≠CF，在△ABC中，O是BC的中点，F是AB的中点，∴OF∥AC，∴AC与OF是共面直线，若AC与EF是共面直线，则O，F，A，C，E在同一平面，显然矛盾，故AC与EF是异面直线，故选D．

4．(2025·四川仁寿一中调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则直线A1C1与CE所成角的余弦值为( )
A．B．
C．D．
[答案] A
[解析] 解法一：连接AC，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，即四边形ACC1A1为平行四边形，故A1C1∥AC，则直线AC与CE所成角即为直线A1C1与CE所成角，即∠ECA即为所求角或其补角；设正方体棱长为2，连接AE，EC1，则AE＝EC1＝＝，EC＝＝3，又AC＝2，∴cos∠ECA＝＝＝，而异面直线所成角的范围为，故直线A1C1与CE所成角的余弦值为.故选A．

解法二：如图建立空间直角坐标系，设AB＝2，则＝(－2，2，0)，＝(1，－2，2)，记A1C1与CE所成角为θ，则cosθ＝＝＝.故选A．

5．(2025·北京清华附中统测)已知三棱锥S－ABC中，SC＝2，AB＝2，E，F分别是SA，BC的中点，EF＝1，则EF与AB所成的角大小为( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] 取SB的中点G，连接GF，GE，如图，又E为SA的中点，所以EG∥AB，EG＝AB＝1，同理可得GF∥SC，GF＝SC＝，所以∠GEF(或其补角)是EF与AB所成的角．取GF的中点H，连接EH，则EH⊥GF，所以sin∠HEF＝＝?∠HEF＝，则∠GEF＝，所以EF与AB所成的角为.故选B．

6．(2024·河南新乡三模)已知球O的半径为5，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面α被球O所截的截面面积的最小值是( )
A．9πB．12π
C．16πD．20π
[答案] C
[解析] 由点A到球心O的距离为3，得球心O到过点A的平面α距离的最大值为3，因此过点A的平面α被球O所截的截面小圆半径最小值为＝4，所以过点A的平面α被球O所截的截面面积的最小值是42π＝16π.故选C．
7.如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱AD，DD1，CD的中点，则下列说法错误的是( )

A．直线A1G，C1E共面
B．VD1－BEF＝
C．A1G⊥BC1
D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9
[答案] D
[解析] 如图①，由E，G分别是棱AD，CD的中点，知EG∥AC∥A1C1，所以EG，A1C1可确定一个平面，故A正确；

如图②，VD1－BEF＝VB－D1EF＝×S△D1EF×|AB|＝××1×1×2＝，故B正确；
如图③，建立空间直角坐标系，不妨设AB＝2，则＝(－2，1，－2)，＝(－2，0，2)，记A1G与BC1所成角为θ，则cosθ＝＝0，故C正确．
(或作A1Q∥AD1交DA的延长线于Q，又AD1∥BC1，∴AQ∥BC1，即∠QA1G为A1G与BC1所成的角或其补角，连接GQ，则A1Q＝2，QG＝，A1G＝3，∴cos∠QA1G＝＝0，∴A1G⊥BC1)注：也可通过证明BC1⊥平面A1DG得出C正确．
如图④，连接BE，EF，BC1，C1F，

易得EF∥AD1，AD1∥BC1，
因平面ADD1A1∥平面BCC1B1，
则BC1为过点B，E，F的平面与平面BCC1B1的一条截线，
即过点B，E，F的平面即平面BEFC1.
由EF＝，BE＝，BC1＝2，C1F＝可得四边形BEFC1为等腰梯形，
故其面积为：SBEFC1＝(＋2)×＝×＝，即D项错误．故选D．
8．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作( )
A．1条B．2条
C．3条D．4条
[答案] D
[解析] 如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.

联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1∥AA1，BC∥AD，
所以体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，
同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，即过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．故选D．
二、多选题
9．下列命题中的真命题是( )
A．若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P，Q，R三点，则P，Q，R三点共线
B．若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c是异面直线
C．若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面
D．对于三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥a，则c∥b
[答案] AC
[解析] 由公理3，A正确；易知B错误；C正确；若a，b，c是过长方体一顶点的三条棱，则D错误，故选AC．
10．(2025·山东聊城模拟预测)已知a，b，c是两两异面的三条直线，a⊥b，c⊥a，直线d满足d⊥a，d⊥b，a∩d＝P，b∩d＝Q，则c与d的位置关系可以是( )
A．相交B．异面
C．平行D．垂直
[答案] BC
[解析] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线a，b，d如图所示．c为ED1(E为AA1上不与A、A1重合的点)时与d异面，B正确；c为DD1时与d平行，C正确；若c与d相交，则a垂直于c，d确定的平面，又a垂直于b，d确定的平面，则b，c，d在同一个平面内，即b与c共面，与已知矛盾，A错误；若c与d垂直，则c垂直于a，d确定的平面，而b垂直于a，d确定的平面，推出b与c平行或重合，与已知矛盾，D错误，故选BC．

11．(2024·河北秦皇岛部分学校联考)如图为一正方体的展开图、则在原正方体中( )

A．AB∥CD
B．AB⊥CD
C．直线AB与EF所成的角为60°
D．直线CD与EF所成的角为60°
[答案] ...