2026《衡中学案》高考一轮总复习 数学提能训练 练案[42] 人教版
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提能训练 练案[42]
A组基础巩固
一、单选题
1.(2025·山西长治质检)已知下列四个命题:
p1:设直线a是平面α外的一条直线,若直线a不平行于平面α,则α内不存在与a平行的直线.
p2:过直线外一点,有且只有一个平面与这条直线平行.
p3:如果直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b.
p4:设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件.
其中真命题的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
[答案] B
[解析] 对于p1,因为直线a不平行于平面α,故a与α相交,若α内存在与a平行的直线,由线面平行的判断定理可得a∥α,矛盾,故p1正确.对于p2,过直线外一点,有无数个平面与这条直线平行,故p2错误.对于p3,如果直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a,b异面或相交或平行,故p3错误.对于p4,若l⊥α,因为m,n在平面α内,则l⊥m且l⊥n,但若l⊥m且l⊥n,在m,n相交的条件下才有l⊥α,故l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要条件,故p4正确.故选B.
2.(2024·九省联考试题)设α,β是两个平面,m,l是两条直线,则下列命题为真命题的是( )
A.若α⊥β,m∥α,l∥β,则m⊥l
B.若m?α,l?β,m∥l,则α∥β
C.若α∩β=m,l∥α,l∥β,则m∥l
D.若m⊥α,l⊥β,m∥l,则α⊥β
[答案] C
[解析] m,l可能平行,相交或异面,故A错误;α,β可能相交或平行,故B错误;α,β平行,故D错误;由线面平行性质得C正确.故选C.
3.(2024·四川达州诊断)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.m∥α,m⊥n,则n⊥α
B.m⊥α,m⊥n,则n∥α
C.α∥β,m?β,则m∥α
D.m⊥β,β⊥γ,则m∥γ
[答案] C
[解析] 若m∥α,m⊥n,则有n与α相交或n∥α或n?α,故A错误;若m⊥α,m⊥n,则有n?α或n∥α,故B错误;若α∥β,m?β,由面面平行的性质可知m∥α,故C正确;若m⊥β,β⊥γ,则有m∥γ或m?γ,故D错误.故选C.
4.(2023·广东湛江调研测试)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱C1D1的中点,则( )
A.B1C∥平面A1BM
B.A1B1∥平面BDM
C.BM∥平面ACD1
D.BC1∥平面A1MC
[答案] D
[解析] 因为B1C∥A1D,A1D与平面A1BM相交,所以B1C与平面A1BM不平行,故A错误;因为A1B1∥AB,AB与平面BDM相交,所以A1B1与平面BDM不平行,故B错误;取AB的中点E,连接D1E(图略),则D1E∥BM.因为D1E与平面ACD1相交,所以BM与平面ACD1不平行,故C错误;取A1B1的中点N,连接C1N,BN(图略),易知平面BC1N∥平面A1MC,故D正确.
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A.不存在 B.有1条
C.有2条 D.有无数条
[答案] D
[解析] 由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行.
6.(2024·陕西汉中校际联考)设α,β,γ为不同的平面,m,n为不同的直线,则α∥β的一个充分条件是( )
A.α⊥γ,β⊥γ
B.m⊥α,n⊥β,m∥n
C.α内有无数条直线与β平行
D.α内有不共线的三点到β的距离相等
[答案] B
[解析] 如图,可知A错误;??α∥β,B正确;由图,可知C错误;符合条件D的平面可能相交,D错误.
7.(2024·北京东城区期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E,F分别是DD1,BB1的中点.用过点F且平行于平面ABE的平面去截正方体,得到的截面图形的面积为( )
A.2B.
C.D.
[答案] A
[解析] 取AA1的中点H连HF、HD1、FC1,由E、F分别为DD1、BB1的中点易知平面D1HFC1∥平面ABE,又AB=2,∴FC1=,由HFC1D1为矩形知S截面=2.故选A.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上且BP=BD1,则下列说法中正确的个数是( )
①MN∥平面APC ②C1Q∥平面APC ③A、P、M三点共线 ④平面MNQ∥平面APC
A.1B.2
C.3D.4
[答案] B
[解析] 对于①,连接MN,AC,则MN∥AC,连接AM、CN,
易得AM、CN交于点P,即MN?平面APC,
所以MN∥平面APC是错误的;
对于②,由①知M、N在平面APC内,由题易知AN∥C1Q,所以C1Q∥平面APC是正确的;
对于③,由①知,A,P,M三点共线是正确的;
对于④,由①知MN?平面APC,又MN?平面MNQ,所以平面MNQ∥平面APC是错误的.故选B.
二、多选题
9.(2024·河北部分重点高中期中)已知m,n是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,以下说法正确的是( )
A.若m∥α,m⊥β,则α⊥β
B.若m?α,n?β,m∥β,n∥α,则α∥β
C.若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n
D.若m?α,m∥β,α∩β=n,则m∥n
[答案] AD
[解析] 若m∥α,则存在直线a?α,使得m∥a,因为m⊥β,所以a⊥β,则α⊥β,故A正确;当m∥n时,若α∩β=b,此时m∥b,n∥b,且m?β,n?α,则m∥β,n∥α,故B错误;若α⊥β,设α∩β=c,当m∥c∥n,且m?α,n?β时,m∥α,n∥β,故C错误;若m∥β,则任意直线d?β,直线d与直线m的位置关系为异面或平行,因为m?α,且α∩β=n,所以m∥n,故D正确.故选AD.
10.(2024·福建优质校阶段检测)如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则直线MN∥平面ABC的是( )
[答案] BC
[解析] 由图(1)可知MN与平面ABC相交于N,故A错误;
由图(2)知MN∥AD,AD?平面ABC,MN?平面ABC,
∴MN∥平面ABC,故B正确;
由图(3)易知平面ABC∥平面MHN,从而MN∥平面ABC,故C正确;
由图(4)知MN?平面ABC,故D错误.故选BC.
三、填空题
11.(2023·广西桂林二模)已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,给出下列四个命题:①a∥b,b∥c?a∥c;②a∥α,b∥α?a∥b;③a∥α,β∥α?a∥β;④a?α,b?α,a∥b?a∥α.其中正确的命题是________.(写出所有正确命题的序号)
[答案] ①④
[解析] 根据线线平行的传递性,可知①正确;若a∥α,b∥α,则a,b可能平行、相交、异面,故②不正确;若a∥α,β∥α,则a∥β或a?β,故③不正确;由线面平行的判定定理可知④正确.故正确的命题是①④.
12.已知平面α∥β,点A,C∈α,B,D∈β,直线AB与直线CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34,则CS的长为________.
[答案] 16或272
[解析] 本题主要考查两平面平行的性质定理.①当点S在两平行平面之间时,如图1所示,∵直线AB与直线CD交于点S,直线AB与直线CD可确定一个平面γ,且α∩γ=AC,β∩γ=BD.∵α∥β,∴AC∥BD,∴=,即=,得=,解得CS=16.②当点S在两平行平面的同侧时,如图2所示,由①知AC∥BD,则有=,即=,解得CS=272.
13.(2023·四川绵阳三模)如图所示...
A组基础巩固
一、单选题
1.(2025·山西长治质检)已知下列四个命题:
p1:设直线a是平面α外的一条直线,若直线a不平行于平面α,则α内不存在与a平行的直线.
p2:过直线外一点,有且只有一个平面与这条直线平行.
p3:如果直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b.
p4:设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件.
其中真命题的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
[答案] B
[解析] 对于p1,因为直线a不平行于平面α,故a与α相交,若α内存在与a平行的直线,由线面平行的判断定理可得a∥α,矛盾,故p1正确.对于p2,过直线外一点,有无数个平面与这条直线平行,故p2错误.对于p3,如果直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a,b异面或相交或平行,故p3错误.对于p4,若l⊥α,因为m,n在平面α内,则l⊥m且l⊥n,但若l⊥m且l⊥n,在m,n相交的条件下才有l⊥α,故l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要条件,故p4正确.故选B.
2.(2024·九省联考试题)设α,β是两个平面,m,l是两条直线,则下列命题为真命题的是( )
A.若α⊥β,m∥α,l∥β,则m⊥l
B.若m?α,l?β,m∥l,则α∥β
C.若α∩β=m,l∥α,l∥β,则m∥l
D.若m⊥α,l⊥β,m∥l,则α⊥β
[答案] C
[解析] m,l可能平行,相交或异面,故A错误;α,β可能相交或平行,故B错误;α,β平行,故D错误;由线面平行性质得C正确.故选C.
3.(2024·四川达州诊断)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.m∥α,m⊥n,则n⊥α
B.m⊥α,m⊥n,则n∥α
C.α∥β,m?β,则m∥α
D.m⊥β,β⊥γ,则m∥γ
[答案] C
[解析] 若m∥α,m⊥n,则有n与α相交或n∥α或n?α,故A错误;若m⊥α,m⊥n,则有n?α或n∥α,故B错误;若α∥β,m?β,由面面平行的性质可知m∥α,故C正确;若m⊥β,β⊥γ,则有m∥γ或m?γ,故D错误.故选C.
4.(2023·广东湛江调研测试)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱C1D1的中点,则( )
A.B1C∥平面A1BM
B.A1B1∥平面BDM
C.BM∥平面ACD1
D.BC1∥平面A1MC
[答案] D
[解析] 因为B1C∥A1D,A1D与平面A1BM相交,所以B1C与平面A1BM不平行,故A错误;因为A1B1∥AB,AB与平面BDM相交,所以A1B1与平面BDM不平行,故B错误;取AB的中点E,连接D1E(图略),则D1E∥BM.因为D1E与平面ACD1相交,所以BM与平面ACD1不平行,故C错误;取A1B1的中点N,连接C1N,BN(图略),易知平面BC1N∥平面A1MC,故D正确.
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A.不存在 B.有1条
C.有2条 D.有无数条
[答案] D
[解析] 由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行.
6.(2024·陕西汉中校际联考)设α,β,γ为不同的平面,m,n为不同的直线,则α∥β的一个充分条件是( )
A.α⊥γ,β⊥γ
B.m⊥α,n⊥β,m∥n
C.α内有无数条直线与β平行
D.α内有不共线的三点到β的距离相等
[答案] B
[解析] 如图,可知A错误;??α∥β,B正确;由图,可知C错误;符合条件D的平面可能相交,D错误.
7.(2024·北京东城区期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E,F分别是DD1,BB1的中点.用过点F且平行于平面ABE的平面去截正方体,得到的截面图形的面积为( )
A.2B.
C.D.
[答案] A
[解析] 取AA1的中点H连HF、HD1、FC1,由E、F分别为DD1、BB1的中点易知平面D1HFC1∥平面ABE,又AB=2,∴FC1=,由HFC1D1为矩形知S截面=2.故选A.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上且BP=BD1,则下列说法中正确的个数是( )
①MN∥平面APC ②C1Q∥平面APC ③A、P、M三点共线 ④平面MNQ∥平面APC
A.1B.2
C.3D.4
[答案] B
[解析] 对于①,连接MN,AC,则MN∥AC,连接AM、CN,
易得AM、CN交于点P,即MN?平面APC,
所以MN∥平面APC是错误的;
对于②,由①知M、N在平面APC内,由题易知AN∥C1Q,所以C1Q∥平面APC是正确的;
对于③,由①知,A,P,M三点共线是正确的;
对于④,由①知MN?平面APC,又MN?平面MNQ,所以平面MNQ∥平面APC是错误的.故选B.
二、多选题
9.(2024·河北部分重点高中期中)已知m,n是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,以下说法正确的是( )
A.若m∥α,m⊥β,则α⊥β
B.若m?α,n?β,m∥β,n∥α,则α∥β
C.若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n
D.若m?α,m∥β,α∩β=n,则m∥n
[答案] AD
[解析] 若m∥α,则存在直线a?α,使得m∥a,因为m⊥β,所以a⊥β,则α⊥β,故A正确;当m∥n时,若α∩β=b,此时m∥b,n∥b,且m?β,n?α,则m∥β,n∥α,故B错误;若α⊥β,设α∩β=c,当m∥c∥n,且m?α,n?β时,m∥α,n∥β,故C错误;若m∥β,则任意直线d?β,直线d与直线m的位置关系为异面或平行,因为m?α,且α∩β=n,所以m∥n,故D正确.故选AD.
10.(2024·福建优质校阶段检测)如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则直线MN∥平面ABC的是( )
[答案] BC
[解析] 由图(1)可知MN与平面ABC相交于N,故A错误;
由图(2)知MN∥AD,AD?平面ABC,MN?平面ABC,
∴MN∥平面ABC,故B正确;
由图(3)易知平面ABC∥平面MHN,从而MN∥平面ABC,故C正确;
由图(4)知MN?平面ABC,故D错误.故选BC.
三、填空题
11.(2023·广西桂林二模)已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,给出下列四个命题:①a∥b,b∥c?a∥c;②a∥α,b∥α?a∥b;③a∥α,β∥α?a∥β;④a?α,b?α,a∥b?a∥α.其中正确的命题是________.(写出所有正确命题的序号)
[答案] ①④
[解析] 根据线线平行的传递性,可知①正确;若a∥α,b∥α,则a,b可能平行、相交、异面,故②不正确;若a∥α,β∥α,则a∥β或a?β,故③不正确;由线面平行的判定定理可知④正确.故正确的命题是①④.
12.已知平面α∥β,点A,C∈α,B,D∈β,直线AB与直线CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34,则CS的长为________.
[答案] 16或272
[解析] 本题主要考查两平面平行的性质定理.①当点S在两平行平面之间时,如图1所示,∵直线AB与直线CD交于点S,直线AB与直线CD可确定一个平面γ,且α∩γ=AC,β∩γ=BD.∵α∥β,∴AC∥BD,∴=,即=,得=,解得CS=16.②当点S在两平行平面的同侧时,如图2所示,由①知AC∥BD,则有=,即=,解得CS=272.
13.(2023·四川绵阳三模)如图所示...