提能训练 练案[43]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2024·黑龙江哈尔滨香坊区期末)已知直线m，n，平面α，β，m?α，n?β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥n是α⊥β的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 依题意，由m⊥l，m⊥n，当n∥l时，不能证得m⊥β，从而不能证得α⊥β，当α⊥β，m⊥l时，由已知及面面垂直的性质知m⊥β，而n?β，因此m⊥n，所以m⊥n是α⊥β的必要不充分条件．故选B．
2．(2024·广东实验中学阶段测试)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
[答案] D
[解析] 由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l?α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l?β，所以l∥β，由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾，所以α，β相交，且交线平行于l，故选D．
3．(2025·江苏淮安十校联考)已知α，β是两个不重合的平面，m，n为两条不同的直线，给出下列命题，其中是真命题的个数是( )
①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
A．1B．2
C．3D．4
[答案] B
[解析] ①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α，β可能平行或相交，故①为假命题；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m和n可能平行、相交或异面，故②为假命题；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故③为真命题；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，故④为真命题．故选B．
4.已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列命题中正确的有( )

①平面PAB⊥平面PAE；②PB⊥AD；③直线CD与PF所成角的余弦值为；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°；⑤CD∥平面PAE.
A．①④B．①③④
C．②③⑤D．①②④⑤
[答案] B
[解析] ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，在正六边形ABCDEF中，AB⊥AE，PA∩AE＝A，∴AB⊥平面PAE，且AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故①成立；∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴②不成立；∵CD∥AF，直线CD与PF所成的角为∠PFA，在Rt△PAF中，PA＝2AF，∴cos∠PFA＝，∴③成立；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故④成立；∵CD∥AF，∴CD∥平面PAF，显然AF与平面PAE相交，∴CD与平面PAE相交，即⑤不成立，故选B．

5．(2024·湖南天壹名校联盟联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN( )

A．有且仅有1条B．有且仅有2条
C．有且仅有3条D．有无数条
[答案] D
[解析] 正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，过点M作垂直于DD1的平面，交BC1于点N′，则MN′⊥DD1.因为M是DD1上的动点．所以过M点与DD1垂直的平面有无数个，所以满足条件的N点也有无数个，所以有无数个满足条件的直线MN，即满足与DD1垂直的直线MN有无数条．故选D．

6．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
[答案] A
[解析] 正方体中DD1⊥EF，

又AC⊥BD，EF∥AC，
∴BD⊥EF，
∴EF⊥平面BDD1，EF?平面B1EF，
从而平面B1EF⊥平面BDD1，
∴A正确；
若平面B1EF⊥平面A1BD，
则BD⊥平面B1EF，∴BD⊥B1E，又BB1⊥BD，
∴BD⊥平面BB1E，又AD⊥平面BB1E，
∴AD∥BD这与AD、BD相交矛盾，∴B错误；
取A1B1的中点H，则AH∥B1E，

由于AH与平面A1AC相交，故平面B1EF∥平面A1AC不成立，C错误；
取AD的中点M，很明显四边形A1B1FM为平行四边形，则A1M∥B1F，
由于A1M与平面A1C1D相交，故平面B1EF∥平面A1C1D不成立，D错误．故选A．

7．(2024·江苏常州中学检测)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
D．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
[答案] D
[解析] 对于A，若m⊥n，n∥α，则m?α或者m∥α或者m，α相交，故A错误；对于B，若m∥β，β⊥α，则m?α或者m∥α或者m，α相交，故B错误；对于C，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m?α或者m∥α或者m，α相交，故C错误；对于D，若m⊥β，n⊥β，则n∥m，又n⊥α，所以m⊥α，故D正确．故选D．
8．(2023·江西赣州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别为A1B，A1C1，A1D的中点，则下列结论中错误的是( )
A．MN∥AD1
B．平面MNP∥平面BC1D
C．MN⊥CD
D．平面MNP⊥平面A1BD
[答案] D
[解析] 对A，在△A1BC1中，因为M，N分别为A1B，A1C1的中点，所以MN∥BC1.又BC1∥AD1，所以MN∥AD1，A正确；对B，在△A1BD中，因为M，P分别为A1B，A1D的中点，所以MP∥BD．因为MP?平面BC1D，BD?平面BC1D，所以MP∥平面BC1D．因为MN∥BC1，MN?平面BC1D，BC1?平面BC1D，所以MN∥平面BC1D．又因为MP∩MN＝M，MP，MN?平面MNP，所以平面MNP∥平面BC1D，B正确；对C，因为MN∥AD1，AD1⊥CD，所以MN⊥CD，C正确；对D，取BD的中点E，连接A1E，EC1，则∠A1EC1是二面角A1－BD－C1的平面角．设正方体棱长为a，则cos∠A1EC1＝＝≠0，又0°<∠A1EC1<180°，则∠A1EC1≠90°，所以平面A1BD与平面BC1D不垂直．又平面MNP∥平面BC1D，所以平面MNP与平面A1BD不垂直，D错误．故选D．

二、多选题
9．(2024·江西新余模拟改编)已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A．若a⊥α，b⊥β，且α∥β，则a∥b
B．若a⊥α，b∥β，且α∥β，则a⊥b
C．若a∥α，b⊥β，且α⊥β，则a∥b
D．若a⊥α，b⊥β，且α⊥β，则a⊥b
[答案] ABD
[解析] 由b⊥β且α∥β，可得b⊥α，而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故A正确；由于α∥β，a⊥α，所以a⊥β，则a⊥b，故B正确；若a与平面α，β的交线平行，则a⊥b，故不一定有a∥b，故C错误；设α∩β＝l，在平面β内作直线c⊥l，α⊥β，则c⊥α，又a⊥α，所以a∥c，b⊥β，c?β，所以b⊥c，从而有b⊥a，故D正确．故选ABD．
10．(2025·浙江强基联盟联考)已知四面体A－BCD，AB＝，AB⊥平面BCD，BE⊥AC，垂足为E，BF⊥AD，垂足为F，则下列结论正确的是( )
A．若BC⊥CD，则AC⊥EF
B．若BC⊥CD，则AD⊥平面BEF
C．若BC＝BD，则EF∥CD
D．若BC＝BD＝2，则四面体A－BEF体积的最大值为
[答案] BCD
[解析] BC⊥CD，CD⊥AB，CD⊥平面ABC，即CD⊥BE，即BE⊥平面ACD，BE⊥AD，由题意得BF⊥AD，∴AD⊥平面BEF，∴AD⊥EF，即AC与EF不垂直，故A不正确，B正确；BC＝BD，△ABC≌△ABD，∴＝，EF∥CD，故C正确；在△ABC中，可求得＝＝，∴VA－BEF＝VA－BCD，又当且仅当∠DBC＝90°时，VA－B...