提能训练 练案[4]
A组基础巩固
一、单选题
1．下列不等式证明过程正确的是( )
A．若a，b∈R，则＋≥2＝2
B．若x>0，y>0，则lgx＋lgy≥2
C．若x2＝2
[答案] D
[解析] ∵，可能为负数，如＝＝－1时，＋＝－2，∴A错误；∵lgx，lgy可能为负数，如lgx＝lgy＝－1时，lgx＋lgy＝－2,2＝2，∴B错误；∵x1，∴2x＋2－x>2＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0等号成立，∴D正确．
2．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是( )
A．9B．18
C．9D．27
[答案] B
[解析] 因为m>0，n>0，
由基本不等式m＋n≥2得，
m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，
所以m＋n的最小值是18.
3．已知a>0，b>0，且＋＝1，则4a＋9b的最小值是( )
A．23B．26
C．22D．25
[答案] D
[解析] 由题意得a>0，b>0，＋＝1，
故4a＋9b＝(4a＋9b)＝＋＋13≥2＋13＝25，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，
故4a＋9b的最小值是25.
4．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝( )
A．24B．28
C．32D．36
[答案] D
[解析] 因为x>0，a>0，所以f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，所以a＝4×32＝36.故选D.
5．(2025·西安模拟)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9B．12
C．18D．24
[答案] B
[解析] 由＋≥，得m≤(a＋3b)·＝＋＋6.又＋＋6≥2＋6＝12，∴m≤12，∴m的最大值为12，故选B.
6．(2025·洛阳模拟)设正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则的最大值为( )
A．4B．2
C．3D．1
[答案] D
[解析] 因为正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则z＝x2＋y2－xy，所以＝＝≤＝1，当且仅当＝，即x＝y时，等号成立，故的最大值为1.
7．(2025·安徽黄山质检)已知f(x)＝(x>0)，则f(x)的最小值是( )
A．2B．3
C．4D．5
[答案] D
[解析] 由题意知，
f(x)＝＝＝x＋1＋＋1，
因为x>0，所以x＋1>0，
则x＋1＋＋1≥2＋1＝5，

故f(x)的最小值是5.
8．(2024·山西高三阶段练习)已知正实数a，b满足2a＋b＝6，则＋的最小值为( )
A.B．
C．D．
[答案] C
[解析] ∵2a＋b＝6，
∴＋＝＋＝(2a＋b＋2)
＝≥×(5＋2)＝，
当且仅当＝，即b＝，a＝时，取等号．故选C.
二、多选题
9．(2025·山东新高考模拟)已知正实数a，b满足a＋b＝2，下列式子中，最小值为2的有( )
A．2abB．a2＋b2
C.＋D．
[答案] BCD
[解析] 因为a，b>0，所以2＝a＋b≥2，所以01时，x＋的最小值是3
B.的最小值是2
C．当01，则x－1>0，所以x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，故选项A正确；
对于选项B，因为＝＝＋≥2，
等号成立的条件是x2＝－3，显然不成立，所以等号不成立，不能使用基本不等式，即最小值不为2，令t＝≥2，则y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，所以t＝2时取得最小值，故选项B错误；
对于选项C，因为00，
所以≤＝5，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，故选项C正确；
对于选项D，由x＋2y＝3xy得＋＝1，故2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×＝＋＋＋≥2＋＝＝3，
当且仅当＝时取等号，即x＝y＝1.故选项D错误．
11．若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2D．x2＋y2≥1
[答案] BC
[解析] 因为x2＋y2－xy＝(x＋y)2－3xy＝1，且xy≤，所以(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－(x＋y)2＝(x＋y)2，故(x＋y)2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确．由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立．故C正确，D错误．故选BC.
三、填空题
12．(2024·山东济南三模)已知正实数a，b满足ab＝4，则＋的最小值为________.
[答案] 3
[解析] 由题设，＋≥2＝＝3，当且仅当b＝9a＝6时等号成立．
13．(1)当x>2时，x＋的最小值为 .
(2)当x≥4时，x＋的最小值为 .
[答案] (1)6 (2)
[解析] (1)∵x>2，∴x－2>0.
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时“＝”成立．
∴x＋的最小值为6.
(2)∵x≥4，∴x－1≥3.令x－1＝t≥3，
∵函数y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，
∴当x－1＝3，即x＝4时，y＝(x－1)＋＋1
有最小值.
14．已知a，b∈R，若a－3b＝2，则2a＋的最小值为________.
[答案] 4
[解析] 2a＋＝2a＋2－3b≥2×＝2×＝4，当且仅当即时等号成立．
15．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.
[答案]
[解析] ∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝.∴x2＋y2＝＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号．∴x2＋y2的最小值为.
B组能力提升
1．(2024·河北邯郸一模)若x>0，y>0,3x＋2y＝1，则8x＋4y的最小值为( )
A.B．2
C．3D．4
[答案] B
[解析] 8x＋4y＝23x＋22y≥2＝2＝2，当且仅当23x＝22y且3x＋2y＝1，即x＝，y＝时等号成立，则8x＋4y的最小值为2.故选B.
2．(2025·安徽A10联盟质量检测)已知m，n∈(0，＋∞)，＋n＝4，则m＋的最小值为( )
A．3B．4
C．5D．6
[答案] B
[解析] ?m，n∈(0，＋∞)，m＋＝＝≥＝4，当且仅当mn＝，即m＝1，n＝3时等号成立，则m＋的最小值为4.故选B.
3．(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )
A．ab有最大值
B.＋有最大值
C.＋有最小值4
D．a2＋b2有最小值
[答案] ABC
[解析] 因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以ab≤2，所以ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，所以ab有最大值，所以A正确；
＋≤2＝，当且仅当a＝b＝取等号，所以＋的最大值为，所以B正确；
因为＋＝＝≥4，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋有最小值4，所以C正确；
因为a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时取等号，所以a2＋b2的最小值不是，所以D错误．故选ABC.
4．已知x>0，y>0且x＋y＝5，则＋的最小值为( )
A.B．2
C．D．1
[答案] A
[解析] 令x＋1＝m，y＋2＝n，
∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，
则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，
∴＋＝＋＝×(m＋n)
＝≥·(2＋2)＝.
当且仅当＝，即m＝n＝4时等号成立．
∴＋的最小值为.
5．设x>0，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为________.
[答案]
[解析] ＝＝＝2＋.∵x＋2y＝4，∴4≥2，∴2xy≤4.∴≥.∴2＋≥2＋＝.
6．已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________.
[答案] 4
[解析] ∵ab＝1，∴b＝.∴＋＋＝＋＋＝＋.
令＋a＝t>0，
则原式＝＋≥2＝2＝4.
当且仅当t2＝16，即t＝4时，等号成立，此时＋a＝4.
C组拓展应用(选作)
若正实数a，b满足a＋b＋2＝ab，则a＋b－2的最小值为________；＋的最小值是________.
[答案] 2 2
[解析] 由a＋b＋2＝ab，得a＝>0，
所以b>1，
同理可得a>1，所以b－1>0，a－1>0.
因为a＋b＋2＝ab，所以(a－1)(b－1)＝3，
所以a＋b－2＝(a－1...