提能训练 练案[56]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2025·山东济宁模拟)抛物线y＝x2的焦点坐标是( )
A．(1,0)B．(0,1)
C．(2,0)D．(0,2)
[答案] B
[解析] 抛物线的标准方程为x2＝4y，则2p＝4，可得＝1，因此，抛物线y＝x2的焦点坐标为(0,1)．故选B.
2．(2024·安徽皖江名校联考)设抛物线y＝x2上一点P到x轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．3B．4
C．7D．13
[答案] B
[解析] 因为x2＝12y，则准线方程为y＝－3，依题意，点P到该抛物线焦点的距离等于点P到其准线y＝－3的距离，即3＋1＝4.故选B.
3．(2025·江苏南通如皋中学测试)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝±3yB．y2＝±6x
C．x2＝±12yD．y2＝±12x
[答案] C
[解析] 设抛物线方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，依题意知＝3，∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.故选C.
4．(2023·北京海淀一模)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于点A，B，线段AB的中点的横坐标为4，则AB长为( )
A．10B．8
C．5D．4
[答案] A
[解析] 设AB中点为C，则xC＝4，过A，B，C分别作准线x＝－1的垂线，垂足分别为M，N，D，因为C为AB中点，则易知CD为梯形AMNB的中位线，而|CD|＝xC＋1＝5，所以|AM|＋|BN|＝2|CD|＝10.根据抛物线定义可知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝10.故选A．
5．(2024·宁夏石嘴山三模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|＝2|BF|，|AE|＝3，则此抛物线的方程为( )

A．y2＝B．y2＝9x
C．y2＝D．y2＝3x
[答案] D
[解析] 如图所示，过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|＝a，则|BC|＝2|BF|＝2a，|BD|＝|BF|＝a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD＝＝，所以∠BCD＝30°，在直角△ACE中，因为|AE|＝3，可得|AC|＝3＋3a，由|AC|＝2|AE|，所以3＋3a＝6，解得a＝1，因为BD∥FG，所以＝，解得p＝，所以抛物线方程为y2＝3x.故选D.

6．(2025·宁夏银川一中模拟)抛物线E：x2＝4y与圆M：x2＋(y－1)2＝16交于A、B两点，圆心M(0,1)，点P为劣弧上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则△PMN的周长的取值范围是( )
A．(6,12)B．(8,10)
C．(6,10)D．(8,12)
[答案] B
[解析] 如图，可得圆心M(0,1)也是抛物线的焦点，过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得MN＝NH故△PMN的周长l＝NH＋NP＋MP＝PH＋4，由可得B(2，3)．PH的取值范围为(4,6)，∴△PMN的周长PH＋4的取值范围为(8,10)．

7．(2025·安徽重点高中联盟校摸底)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2x的焦点为F，＝－＝－2，过点M的直线l与C交于A，B两点，且＝λ(00)的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则( )
A．p＝4
B．|MF|≥|OF|
C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D．当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2
[答案] ABC
[解析] 因为F(2,0)是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，所以＝2，即得p＝4，A选项正确；设M(x0，y0)在y2＝8x上，所以x0≥0，所以|MF|＝x0＋≥＝|OF|，B选项正确；因为以M为圆心且过F的圆半径为|MF|＝x0＋2等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；当∠OFM＝120°时，x0>2，＝tan60°＝，且y＝8x0，y0>0，所以y－8y0－16＝0，y0＝4或y0＝－舍，所以△OFM的面积为S△OFM＝|OF|×|y0|＝4，D选项错误．故选ABC.

9．(2024·辽宁鞍山质检)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线C交于A、B两点，则下列说法正确的是( )
A．若F(1,0)，则l：x＝－
B．若F(1,0)，则弦AB最短长度为4
C．存在以AB为直径的圆与l相交
D．若直线AB：y＝，且A点在x轴的上方，则＝3
[答案] BD
[解析] 若F(1,0)，则＝1?p＝2，故l：x＝－＝－1，故A错误；若F(1,0)，则＝1?p＝2，则抛物线方程为y2＝4x，设过点F(1,0)的直线方程为x＝ky＋1，联立其与抛物线的方程可得y2－4ky－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝16k2＋16>0，y1＋y2＝4k，故|AB|＝x1＋x2＋p＝k(y1＋y2)＋4＝4k2＋4≥4，故当k＝0时，此时弦AB最短长度为4，故B正确；设AM⊥l于M，BN⊥l于N，Q为AB中点，HQ⊥l于H，易知|QH|＝(|AM|＋|BN|)＝(|AF|＋|BF|)＝，故以AB为直径的圆与l相切，故C错误；(或AB的中点为E，设过点F的直线方程为x＝ky＋，联立其与抛物线的方程可得y2－2pky－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝4p2k2＋4p2>0，y1＋y2＝2pk，因为E，故E，则点E到准线l：x＝－的距离为pk2＋p，而＝＝＝＝pk2＋p，故以AB为直径的圆与l相切，故C错误)联立AB：y＝与抛物线方程可得3x2－5px＋＝0，解得x＝，或x＝，由于A点在x轴的上方，所以xA＝，xB＝，故A，B，又F，则＝(－p，－p)，＝，所以＝3，D正确．故选BD.

三、填空题
10．(2025·江西部分学校月考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(3,0)，P(2，t)是抛物线C上一点，则|PF|＝________.
[答案] 5
[解析] 由焦点坐标可知＝3，由抛物线定义可知|PF|＝2＋＝5.
11．(2025·广东部分名校摸底)省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为________米．

[答案] 8
[解析] 建立坐标系如图，设抛物线方程为x2＝ay且a0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________.
[答案]
[解析] 圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1,0)，
故＝1即p＝2，由
可得x2＋2x－24＝0，故x＝4或x＝－6(舍)，
故A(4，±4)，故直线AF：y＝±(x－1)
即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，
故原点到直线AF的距离为d＝＝.
13．(2025·广东六校联考)已知圆x2＋y2＝4与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点，若|AB|＝2，则p＝________.
[答案] 2
[解析] 由抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l：x＝－，圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2，则圆心O到准线l的距离d＝，则|AB|＝2＝2＝2，解得p＝2.
四、解答题
14．(2025·河南五育联盟综合测试)已知曲线M上的任意一点到点(1,0)的距离比它到直线x＝－2的距离小1.
(1)求曲线M的方程；
(2)设点E(0,1)．若过点A(2,1)的直线与曲线M交于B，C两点，求△EBC的面积的最小值．
[解析] (1)由已知得，曲线M上的任意一点到点(1,0)的距离与它到直线x＝－1的距离相等，
所以曲线M的轨迹是以(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，
所以曲线M的方程为y2＝4x.
(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
显然，过点A(2,1)的直线BC斜率不为0，设其方程为x＝my＋2－m，
联立整理得y2－4...