提能训练 练案[57]
1．(2025·鄂豫皖五十三校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，动直线l与椭圆交于P，Q两点：当直线l过F2时，△PQF1的周长为8.
(1)求椭圆C方程；
(2)若直线l过点E(1,0)，椭圆的左顶点为A，当△APQ面积为时，求直线l的斜率k.
[解析] (1)由题意得：2c＝2，4a＝8，
即c＝，a＝2，则b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意知：直线l斜率不为0，可设l：x＝ty＋1，
由
消去x得(t2＋2)y2＋2ty－3＝0，
则Δ＝4t2＋12(t2＋2)＝16t2＋24>0，
设P(x1，y1)，Q(x2,y2)，则y1＋y2＝－，
y1y2＝－，

∴|y1－y2|＝＝＝，
又因为A(－2,0)，则|AE|＝1－(－2)＝3，
所以S△APQ＝|AE|·|y1－y2|＝×＝，
解得t＝±1，
所以直线l的斜率k＝＝±1.
2．(2024·广东部分校联考)已知椭圆C：＋＝1，过点A(2,1)作两条直线，这两条直线与椭圆C的另一交点分别是M，N，且M，N关于坐标原点O对称．设直线AM，AN的斜率分别是k1，k2.
(1)证明：k1k2＝－；
(2)若点M到直线AN的距离为2，求直线AM的方程．
[解析] (1)证明：设M(x1，y1)，
因为M，N关于坐标原点O对称，
所以N(－x1，－y1)，
则k1＝，k2＝，故k1k2＝.
因为M在椭圆C上，所以＋＝1，
所以x＝8－4y，
则k1k2＝＝＝－.
(2)解法一：因为M，N关于坐标原点O对称，所以O为MN的中点．
因为点M到直线AN的距离为2，所以点O到直线AN的距离为1.
由题意可知直线AN的方程为y－1＝k2(x－2)，
即k2x－y－2k2＋1＝0，
则点O到直线AN的距离d＝＝1，
解得k2＝或k2＝0(舍去)．
由(1)可知k1k2＝－，则k1＝－，
故直线AM的方程为y－1＝－(x－2)，
即y＝－x＋.
解法二：由题意可知直线AM的方程为y－1＝k1(x－2)，
联立整理得(4k＋1)x2－(16k－8k1)x＋16k－16k1－4＝0，
Δ＝(16k－8k1)2－4(4k＋1)(16k－16k1－4)＝16(2k1＋1)2>0，
则x1＋2＝＝4－，
从而x1＝2－，
故y1＝k1(x1－2)＋1＝1－，
即M.
因为k1k2＝－，所以k2＝－，
所以直线AN的方程为y－1＝k2(x－2)?y－1＝－(x－2)，
即x＋4k1y－4k1－2＝0，
则M到直线AN的距离
d＝
＝.
因为点M到直线AN的距离为2，所以＝2，解得k1＝－，
则直线AM的方程为y－1＝－(x－2)，
即y＝－x＋.
3．(2025·江苏南通如皋中学测试)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，直线l过抛物线y2＝8x的焦点和点(0，b)．已知C的焦距为6且一条渐近线与l平行．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线m过双曲线C上的右焦点，若m与C交于点A，B(其中点A在第一象限)，与直线x＝交于点T，过T作平行于OA的直线分别交直线OB，x轴于点P，Q，求.
[解析] (1)因为拋物线y2＝8x的焦点为(2,0)，
所以直线l的斜率kl＝－，
因为双曲线C的一条渐近线与l平行，
所以＝，即a＝2.
又因为双曲线C的焦距为2c＝6，即c＝3，
所以b2＝c2－a2＝5，
所以双曲线C的方程为－＝1.

(2)双曲线C的右焦点为(3,0)，
由题意知直线m的斜率存在且不为0，
设直线m的方程为x＝my＋3(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去x得(5m2－4)y2＋30my＋25＝0,5m2－4≠0，
且Δ＝400(1＋m2)>0，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝，
将x＝代入x＝my＋3得yT＝－，
所以T.
直线PQ方程为y＝－，与直线OB：y＝x联立，
可得yP＝
＝＝，
因为y1y2＝－(y1＋y2)，
所以yP＝＝＝－.
因为yQ＝0，所以yP＝，
所以P为TQ的中点，即＝1.
4．(2025·高考综合改革适应性演练)已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)．
(1)求C的方程；
(2)已知点M0(1,4)，证明：线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点；
(3)设M是坐标平面上的动点，且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．
[解析] (1)因为椭圆左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以c＝1，又因为椭圆C的离心率为，得a＝2，∴b2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
(2)由M0(1,4)，F(－1,0)得直线M0F1斜率为k＝2，中点坐标为(0,2)，
所以线段F1M0的垂直平分线方程为y＝－x＋2，
联立垂直平分线方程和椭圆方程
得x2－2x＋1＝0，x＝1，y＝
∵Δ＝4－4＝0，所以直线与椭圆相切，
线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点.
(3)解法一：设M(x0，y0)，
当y0＝0时，F1M的垂直平分线方程为x＝，
此时＝±2，x0＝5或－3；
当y0≠0时，F1M的垂直平分线方程为
y＝－＋
＝－x＋，
联立，
得3x2＋4＝12，
即x2－x＋－12＝0，
因为线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，
故Δ＝－4·
＝0，
即－36－＝0，
则y＋(2x－14)y＋x－18x－32x0－15＝0，
即y＋(2x－14)y＋(x0＋1)2(x0＋3)(x0－5)＝0，
y＋(2x－14)y＋(x＋2x0＋1)(x－2x0－15)＝0，
即(y＋x＋2x0＋1)(y＋x－2x0－15)＝0，
∵x＋y＋2x0＋1＝(x0＋1)2＋y>0，
∴x＋y－2x0－15＝0，
而(5,0)，(－3,0)也满足该式，
故点M的轨迹是圆，该圆的方程为x2＋y2－2x－15＝0，即(x－1)2＋y2＝16.
解法二：设线段F1M的垂直平分线l与C恰有一个公共点为P，则当点P不在长轴时，线段F1M的垂直平分线l即为点P处的切线，也为∠F1PM的角平分线，

作∠F1PF2的角平分线PH，根据椭圆的光学性质得PH⊥l，∴∠F1PE＋∠F1PH＝90°，
则∠F2PH＋∠EPM＝90°，
故∠F2PF1＋∠F1PM＝180°，
所以M，P，F2三点共线，
所以|MF2|＝|MP|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2|＝4，
所以点M的轨迹是以F2为圆心，4为半径的圆，
当P在椭圆长轴上时，M点为(5,0)或(－3,0)也满足|MF2|＝4，
故点M的轨迹是圆，该圆的方程为(x－1)2＋y2＝16.
本资料由【小草数学网】www.tkdd.net从网络为您收集整理部分为网友提供。
资料版权属原作者，如侵犯您的权益请联系，均无条件删除。
本站还提供职称论文、课题论文等写作及发表服务，具体请浏览网站。
还可以免费给你找资料，请到如下网址留言：www.tkdd.net/ask/index.asp...