2026《衡中学案》高考一轮总复习 数学提能训练 练案[59] 人教版
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文件简介::
提能训练 练案[59]
1．(2024·江西九江十校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点P(3,4)在C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若直线PA，PB的斜率互为倒数，证明：直线l过定点．
[解析] (1)由已知得e＝＝，c2＝a2＋b2，
所以b＝2a，
又点P(3,4)在C上，故－＝1，
解得a2＝5，b2＝20，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)证明：当l斜率不存在时，显然不满足条件．
当l斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，与C的方程联立，
消去y得(4－k2)x2－2kmx－m2－20＝0，
由已知得k2≠4，
且Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋20)＝16(m2－5k2＋20)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
直线PA，PB的斜率分别为k1＝＝，
k2＝，由已知k1k2＝1，
故(kx1＋m－4)(kx2＋m－4)＝(x1－3)(x2－3)，
即(k2－1)x1x2＋(km－4k＋3)(x1＋x2)＋m2－8m＋7＝0，
所以－(k2－1)(m2＋20)＋2km(km－4k＋3)＋(4－k2)(m2－8m＋7)＝0，
化简得(m＋3k－4)(5m－9k－12)＝0，又已知l不过点P(3,4)，
故m＋3k－4≠0，
所以5m－9k－12＝0，即m＝k＋，
故直线l的方程为y＝k＋，所以直线l过定点.
2．(2024·河北衡水中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e＝，点P是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：＋为定值．
[解析] (1)设△PF1F2内切圆的半径为r，
则(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)r＝S△PF1F2，
∴r＝＝，
∴当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2内切圆的半径r最大，
则当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，△PF1F2的面积最大，最大值为×2c×b＝bc，
∴r的最大值为，又△PF1F2内切圆面积的最大值为，∴＝，
由得
∴椭圆C的标准方程为：＋＝1.
(2)证明：设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①当y0≠0时，设直线PF1，PF2的直线方程分别为x＝m1y－1，x＝m2y＋1，
由得(3m＋4)y2－6m1y－9＝0，
∴y0y1＝－，
∵x0＝m1y0－1，∴m1＝，∴＝－，
同理由可得＝－，
∴＋＝－－＝＋＝.
②当y0＝0时，直线PF1，PF2与x轴重合，则
则＋＝3＋＝；
综上所述：＋为定值.
3．(2025·江苏南通部分学校统考)已知动点M(x，y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数.
(1)求动点M的轨迹E；
(2)在E上是否存在一点使得它到直线4x－5y＋40＝0的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)设d是点M到直线l：x＝的距离，
根据题意，动点M的轨迹E就是集合．
E＝.
由此得＝.
将此式两边平方，并化简，得9x2＋25y2＝225，
所以M的轨迹E为＋＝1.
(2)由直线方程4x－5y＋40＝0可知直线与坐标轴交点为(－10,0)(0,8)，
易知此直线与椭圆无公共点，
设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0.
由方程组
消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0.
令判别式Δ＝64k2－100(k2－225)＝0，
解得k1＝25或k2＝－25，
当k＝25时，直线4x－5y＋25＝0与椭圆的公共点到直线4x－5y＋40＝0的距离最小，
最小距离d＝＝.
4．(2025·山西大同调研)从双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，点A1，A2分别是双曲线的左、右顶点，点B，且A2B∥OP，|F1A2|＝2＋.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点(2，0)作直线l分别交双曲线左右两支于C，D两点，直线A1C与直线A2D交于点M，证明：点M在定直线上．
[解析] (1)由题意可知P，A2(a,0)，
因为A2B∥OP，所以－＝－，即c＝2b，
所以a＝b.
因为|F1A2|＝2＋，所以a＋c＝(2＋)b＝2＋，
所以b＝1，c＝2，a＝
所以双曲线的方程为－y2＝1.
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线CD：x＝ty＋2，
联立可得，(t2－3)y2＋4ty＋9＝0，
由可得t>或t<－.
所以y1＋y2＝，y1·y2＝.
直线A1C：y＝(x＋)，①
直线A2D：y＝(x－)，②
y1·y2＝－(y1＋y2)，③
由①÷②可得＝＝＝
把③代入上式化简可得＝－3，
解得x＝，所以点M在定直线x＝上．
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1．(2024·江西九江十校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点P(3,4)在C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若直线PA，PB的斜率互为倒数，证明：直线l过定点．
[解析] (1)由已知得e＝＝，c2＝a2＋b2，
所以b＝2a，
又点P(3,4)在C上，故－＝1，
解得a2＝5，b2＝20，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)证明：当l斜率不存在时，显然不满足条件．
当l斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，与C的方程联立，
消去y得(4－k2)x2－2kmx－m2－20＝0，
由已知得k2≠4，
且Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋20)＝16(m2－5k2＋20)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
直线PA，PB的斜率分别为k1＝＝，
k2＝，由已知k1k2＝1，
故(kx1＋m－4)(kx2＋m－4)＝(x1－3)(x2－3)，
即(k2－1)x1x2＋(km－4k＋3)(x1＋x2)＋m2－8m＋7＝0，
所以－(k2－1)(m2＋20)＋2km(km－4k＋3)＋(4－k2)(m2－8m＋7)＝0，
化简得(m＋3k－4)(5m－9k－12)＝0，又已知l不过点P(3,4)，
故m＋3k－4≠0，
所以5m－9k－12＝0，即m＝k＋，
故直线l的方程为y＝k＋，所以直线l过定点.
2．(2024·河北衡水中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e＝，点P是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：＋为定值．
[解析] (1)设△PF1F2内切圆的半径为r，
则(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)r＝S△PF1F2，
∴r＝＝，
∴当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2内切圆的半径r最大，
则当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，△PF1F2的面积最大，最大值为×2c×b＝bc，
∴r的最大值为，又△PF1F2内切圆面积的最大值为，∴＝，
由得
∴椭圆C的标准方程为：＋＝1.
(2)证明：设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①当y0≠0时，设直线PF1，PF2的直线方程分别为x＝m1y－1，x＝m2y＋1，
由得(3m＋4)y2－6m1y－9＝0，
∴y0y1＝－，
∵x0＝m1y0－1，∴m1＝，∴＝－，
同理由可得＝－，
∴＋＝－－＝＋＝.
②当y0＝0时，直线PF1，PF2与x轴重合，则
则＋＝3＋＝；
综上所述：＋为定值.
3．(2025·江苏南通部分学校统考)已知动点M(x，y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数.
(1)求动点M的轨迹E；
(2)在E上是否存在一点使得它到直线4x－5y＋40＝0的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)设d是点M到直线l：x＝的距离，
根据题意，动点M的轨迹E就是集合．
E＝.
由此得＝.
将此式两边平方，并化简，得9x2＋25y2＝225，
所以M的轨迹E为＋＝1.
(2)由直线方程4x－5y＋40＝0可知直线与坐标轴交点为(－10,0)(0,8)，
易知此直线与椭圆无公共点，
设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0.
由方程组
消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0.
令判别式Δ＝64k2－100(k2－225)＝0，
解得k1＝25或k2＝－25，
当k＝25时，直线4x－5y＋25＝0与椭圆的公共点到直线4x－5y＋40＝0的距离最小，
最小距离d＝＝.
4．(2025·山西大同调研)从双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，点A1，A2分别是双曲线的左、右顶点，点B，且A2B∥OP，|F1A2|＝2＋.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点(2，0)作直线l分别交双曲线左右两支于C，D两点，直线A1C与直线A2D交于点M，证明：点M在定直线上．
[解析] (1)由题意可知P，A2(a,0)，
因为A2B∥OP，所以－＝－，即c＝2b，
所以a＝b.
因为|F1A2|＝2＋，所以a＋c＝(2＋)b＝2＋，
所以b＝1，c＝2，a＝
所以双曲线的方程为－y2＝1.
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线CD：x＝ty＋2，
联立可得，(t2－3)y2＋4ty＋9＝0，
由可得t>或t<－.
所以y1＋y2＝，y1·y2＝.
直线A1C：y＝(x＋)，①
直线A2D：y＝(x－)，②
y1·y2＝－(y1＋y2)，③
由①÷②可得＝＝＝
把③代入上式化简可得＝－3，
解得x＝，所以点M在定直线x＝上．
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