提能训练 练案[5]
A组基础巩固
一、单选题
1．不等式－x2＋3x＋10>0的解集为( )
A．(－2,5)
B．(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C．(－5,2)
D．(－∞，－5)∪(2，＋∞)
[答案] A
[解析] 由－x2＋3x＋10>0得x2－3x－100
C．x2＋6x＋10>0D．2x2－3x＋40的解集为R.
3．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( )
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] 不等式(x＋5)(3－2x)≥6可化为2x2＋7x－9≤0，所以(2x＋9)(x－1)≤0，解得－≤x≤1.所以不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是.故选D.
4．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( )
A．{x|xm}B．{x|－nn}D．{x|－m0可化为(x－m)·(x＋n)0，所以m>－n，所以原不等式的解集为{x|－n0的解集为{x|20的解集是{x|20?(2x－1)(3x－1)>0，解得x，所以不等式cx2－bx＋a0的解集是{x|x>2或x0得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x0，则下列说法中正确的是( )
A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}
B．当a0，解得x>4，故选项A正确；由ax2＋(2－4a)x－8>0可得(ax＋2)·(x－4)>0，当即a0的解集为(－1,2)，则下列说法正确的是( )
A．a0
C．关于x的不等式bx2＋cx＋3a>0解集为(－3,1)
D．关于x的不等式bx2＋cx＋3a>0解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[答案] ABD
[解析] 将不等式转化为方程，再利用图象即可求解．ax2＋bx＋c>0的解集是(－1,2)，则a0的解集是(－1,2)，可得f(1)＝a＋b＋c>0，B正确；由题意知ax2＋bx＋c＝0的解是x＝－1,2，则由韦达定理得＝－1，＝－2，即bx2＋cx＋3a>0变为－ax2－2ax＋3a>0，即x2＋2x－3>0，即x1，关于x的不等式bx2＋cx＋3a>0解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，C错误，D正确．故选ABD.
三、填空题
12．不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________.
[答案] {x|x5}
[解析] 2x2－3|x|－35>0?2|x|2－3|x|－35>0?(|x|－5)(2|x|＋7)>0?|x|>5或|x|5或x0，即1－4m2>0，所以－0的解集是{x|－10的解集是{x|－10，x∈Z}，则A∩B的真子集个数为( )
A．2B．3
C．7D．8
[答案] B
[解析] A＝{x|(x－4)(x＋1)≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤4，x∈N}＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|(2x＋3)(x－2)>0，x∈Z}＝，∴A∩B＝{3,4}，其真子集个数为22－1＝3.
2．设a>1，则关于x的不等式(1－a)(x－a)1，所以1－a，原不等式可化为(x－a)>0，解集为∪(a，＋∞)．
3．(2025·广东广州期末)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－20的解集为{x|－20恒成立，则x的取值范围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞)
D．(1,3)
[答案] C
[解析] 令f(a)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则当a∈[－1,1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立可转化为f(a)>0在[－1,1]上恒成立．所以即整理得解得x3，即x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选C.
5．已知函数f(x)＝ax2＋4x＋3.
(1)若关于x的不等式ax2＋4x＋3>0的解集为{x|b－ax－1的解集．
[解析] (1)因为ax2＋4x＋3>0的解集为{x|b0为－7x2＋4x＋3>0，转化为(x－1)(7x＋3)－ax－1得ax2＋4x＋3>－ax－1，整理得ax2＋(a＋4)x＋4>0，即(ax＋4)(x＋1)>0，
当a＝0时，不等式为4x＋4>0，故不等式的解集为{x|x>－1}；
当a≠0时，令(ax＋4)(x＋1)＝0，解得x＝－或x＝－1，
当a0，即－>－1，故不等式的解集为；
当00，故其解集为{x|x≠－1}；
当a>4时，－>－1，故不等式的解集为；
综上：①当a－1}；
③当04时，原不等式解集为.
C组拓展应用(选作)
对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：
解：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．
参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋<0的解集为( )
A．(－2，－1)∪(1,3)
B．(－3，－1)∪(1,2)
C．(－3，－2)∪(－1,1)
D.∪
[答案] B
[解析] 若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋<0可看成前者不等式中的x用代入可得，则∈∪，则x∈(－3，－1)∪(1,2)．故选B.

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