提能训练 练案[63]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2023·全国乙卷)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种B．60种
C．120种D．240种
[答案] C
[解析] 首先确定相同的读物，共有C种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，有A种，共有C·A＝120种，故选C.
2．(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用按比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
A．C·C种B．C·C种
C．C·C种D．C·C种
[答案] D
[解析] 根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×＝40人，高中部共抽取60×＝20，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C·C种．故选D.
3．(2024·黑龙江龙西北高中名校联盟联考)将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为( )
A．90B．135
C．270D．360
[答案] B
[解析] 在6个盒子中任选2个，放入与其编号相同的小球，有C＝15种，剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不同，假设这4个盒子的编号为3,4,5,6，则3号小球可以放进4,5,6号盒子，有3种选法，剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选法，所以不同的放法种数为15×3×3＝135种选法．故选B.
4．(2025·江苏南京调研)甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次)．甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”．从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为( )
A．4B．6
C．8D．12
[答案] C
[解析] 甲、乙名次相邻有AA＝12种情况，其中丙为第一名的情况有AA＝4种，故四人名次排列情况有12－4＝8种．故选C.
5．(2023·全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )
A．120B．60
C．40D．30
[答案] B
[解析] 不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A＝12种方法，同理：b，c，d，e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12＝60种．故选B.
6．(2024·江苏扬州模拟)重庆八中五四颁奖典礼上有A，B，C，D，E，F共6个节目，在排演出顺序时，要求A，B相邻，C，D不相邻，则该典礼节目演出顺序的不同排法种数为( )
A．288种B．144种
C．72种D．36种
[答案] B
[解析] A，B相邻，捆绑作为一个节目与E、F进行全排列，然后把C、D插入其中的四个空档中，排法总数为AAA＝144.故选B.
7．(2025·广西摸底)有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为( )
A．40种B．60种
C．80种D．120种
[答案] B
[解析] 根据题意，分2种情况讨论：①四人中有3人被录用，有CA＝24种不同的录用情况；②四人都被录用，需要先将4人分为3组，再将分好的3组安排给3所学校，有C×A＝6×6＝36种不同的录用情况；所以共有36＋24＝60种不同的录用情况．故选B.
8．(2024·河南顶级名校联盟期中联考)玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木(四个侧面有各不相同的图案)时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，各面棱的颜色都不同，则染法总数为( )
A．216B．360
C．720D．1080
[答案] D
[解析] 根据题意，如图：①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，②对于上底ABCD，有4种颜色可选，则有A＝24种染法，③对于下底A1B1C1D1，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有3×3×1×1＝9种染法，则共有5×24×9＝1080种染法．故选D.

9．(2024·河南洛阳创新发展联盟阶段测试)中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命做出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是( )
A．180B．320
C．345D．360
[答案] D
[解析] 若6支救援队按1,1,4分成3组，则不同的安排方法种数是·A＝30，若6支救援队按1,2,3分成3组，则不同的安排方法种数是CCCA＝240，若6支救援队按2,2,2分成3组，则不同的安排方法种数是·A＝90，故不同的安排方法种数是360.
二、多选题
10．(2024·河北石家庄摸底)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
[答案] BD
[解析] 由＝20(种)知A错误；由AA＝72(种)知B正确；若甲在最右端有A＝24(种)排法，若甲不在最右端有CCA＝54种排法，54＋24＝78(种)知C错误；由A＝24(种)知D正确．故选BD.
11．(2025·广东深圳外国语学校摸底)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是( )
A．所有可能的方法有34种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
[答案] BCD
[解析] 所有可能的方法有43种，A错误；对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则共有C×3×3＝27种安排，第二种：若有两名同学去工厂甲，则有C×3＝9种安排，第三种情况，若三名同学都去工厂甲，此种情况唯一，则共有27＋9＋1＝37种安排方法，B正确；对于C，若A必去工厂甲，则B，C两名同学各有4种安排，共有4×4＝16种安排，C正确；对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有A＝24种安排，D正确．故选BCD.
12．(2024·云南曲靖一中月考)下列说法正确的是( )
A．11×12×…×20可...