提能训练 练案[64]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2025·辽宁鞍山质检)在二项式10的展开式中，常数项为( )
A．180B．270
C．360D．540
[答案] A
[解析] 二项式10的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·10－r·(－2x－2)r＝(－2)rC·x5－r，令5－r＝0，解得r＝2，所以常数项为(－2)2C＝180.故选A．
2．(2024·江苏镇江一中学情检测)8的展开式中含x5项的系数是( )
A．－112B．112
C．－28D．28
[答案] B
[解析] 由题意可得，其通项公式为Tr＋1＝Cx8－rr＝(－2)rCx8－r，0≤r≤8，r∈N，令8－r＝5，可得r＝2，所以含x5项的系数是(－2)2C＝112.故选B.
3．(2025·四川南充高级中学测试)已知n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是( )
A．6B．15
C．D．
[答案] D
[解析] 由题意得2n＝64，解得n＝6，则n展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx6－r·x－r＝Cx6－2r，第5项是T5＝Cx－2＝.
4．(2024·山东新高考质检联盟联考)设(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)7＋(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8，则a2＝( )
A．84B．56
C．36D．28
[答案] A
[解析] 依题意，a2＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝84，故选A．
5．(2024·湖北武汉九所重点中学联考)多项式(ax＋1)6的x2项系数比x3项系数多35，则其各项系数之和为( )
A．1B．243
C．64D．0
[答案] D
[解析] ∵x2项系数比x3项系数多35，∴Ca2－Ca3＝35，即3a2－4a3＝7，解得：a＝－1.∴(－x＋1)6＝Cx6－Cx5＋Cx4－Cx3＋Cx2－Cx1＋C，令x＝1可得各项系数之和为(－1＋1)6＝0.故选D.
6．(2025·浙江L16联盟联考)已知n存在常数项，且常数项是20a3，则n＝( )
A．4B．6
C．8D．10
[答案] B
[解析] n的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·xn－r·r＝C·xn－2r·ar，r＝0,1,2，…，n，令n－2r＝0，得n＝2r，n∈N*，所以它的常数项为C·ar，又已知常数项是20a3，所以r＝3，n＝6，故选B.
7．(2025·湖北部分学校开学考)(2x2－n)3的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为( )
A．2B．8
C．－5D．－17
[答案] D
[解析] 令x＝1，可得(2－n)(1－2)3＝3，n＝5，由3的通项为Tr＋1＝(－2)rCx3－2r(r＝0,1,2,3)知(2x2－5)3的展开式中x3的系数为2×C×(－2)＋(－5)×1＝－17.故选D.
8．(2024·安徽屯溪一中模拟)已知f(x)＝(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则下列描述正确的是( )
A．a1＋a2＋…＋a8＝1
B．f(－1)除以5所得的余数是1
C．|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38
D．2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8
[答案] B
[解析] 令x＝1得：a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1；令x＝0，得a0＝28，a1＋a2＋…＋a8＝1－28，因此A错误；f(－1)＝38＝94＝(10－1)4＝104－C103＋C102－C10＋1＝10×(103－C102＋C101－C)＋1，因此B正确；因为(2－x)8二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C28－r(－x)r＝(－1)rC28－rxr，由通项公式知，(2－x)8二项展开式中偶数项的系数为负数，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝－a1＋a2－a3＋…＋a8，由(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝0，得到a0＝28，令x＝－1，得到a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28，因此C错误；对原表达式的两边同时对x求导，得到－8×(2－x)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，令x＝1，得到a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，令x＝0，得a1＝－8×27，所以2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8＋8×27＝8(27－1)，所以选项D错误．故选B.
9．(2024·湖北宜荆荆随恩联考)若(4x－m)(x－2)5的展开式中的x3的系数为－600，则实数m＝( )
A．8B．7
C．9D．10
[答案] B
[解析] 由题意知，(x－2)5展开式的通项公式为Cx5－r(－2)r，故x3的系数为4×C(－2)3－mC(－2)2＝－320－40m＝－600，解得m＝7.故选B.
二、多选题
10．(2025·江苏苏州开学测试)已知二项式6的展开式，则( )
A．二项式系数最大的项为第3项
B．常数项为第5项
C．展开式中含x3的项为60x3
D．展开式中所有项的系数和为64
[答案] BC
[解析] 由于n＝6，故二项式系数最大为C，为第4项，A错误；6的展开式的通项为2rCx6－rx－r＝2rCx6－r，r＝0,1,2,3,4,5,6，令6－r＝0，解得r＝4，故常数项为第5项，B正确；令6－r＝3，则r＝2，故含x3的项为22Cx3＝60x3，C正确；在6中，令x＝1，得6＝36＝729，D错误．故选BC.
11．(2025·福建泉州模拟)已知n(n∈N*)展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是( )
A．所有项的二项式系数和为128
B．所有项的系数和为8
C．系数最大项为第2项
D．有理项共有4项
[答案] AD
[解析] 因为n的展开式共有8项，所以n＝7.故所有项的二项式系数和为27＝128，故A正确；令x＝1，可得所有项的系数和为7≠8，故B错误；因为二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x7－r·r＝r·C·x7－.r＝0,1,2，…，7；当r∈N*,1≤r≤6，设Tr＋1项系数最大，由解得则r＝2，且T3＝C2x4＝x4，第3项系数为.当r＝0时，T1＝x7，系数为1；当r＝7时，T8＝C7x－＝x－，系数为；由0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)．如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21(mod6)，若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·222，a≡b(mod10)，则b的值可以是( )
A．2019B．2020
C．2021D．2022
[答案] A
[解析] a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·222＝(1＋2)22＝322＝911＝(10－1)11＝C1011＋C1010(－1)1＋C109(－1)2＋…＋C10(－1)10＋C(－1)11＝10×(C1010－C109＋C108－…＋C－1)＋9，所以a被10除余9,2019,2020,2021，2022除以10余9的是2019，故选A．
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