提能训练 练案[65]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2023·湖南湘西州期末)湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假期间两草原供游客休闲旅游，记事件E＝“只去甲草原”，事件F＝“至少去一个草原”，事件G＝“至多去一个草原”，事件H＝“不去甲草原”，事件I＝“一个草原也不去”．下列命题正确的是( )
A．E与G是互斥事件
B．F与I是互斥事件，且是对立事件
C．F与G是互斥事件
D．G与I是互斥事件
[答案] B
[解析] 事件E，G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；事件F与G有可能同时发生，即都包括去其中一个草原，不是互斥事件，故C错误；事件G与I有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选B.
2．(2024·河北邢台质检联盟月考)将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区做环保宣传，每个志愿者只能去其中一个社区且每个社区只能安排一名志愿者，则甲不被分到A社区的概率是( )
A．B．
C．D．
[答案] C
[解析] 甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区，共有A种情况，其中甲不被分到A社区有CA种情况，故甲不被分到A社区的概率是＝.故选C.
3．(2025·山东A7联盟开学联考)从－2，－1,1,3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] 从－2，－1,1,3这4个数中随机取出2个不同的数，共有6种不同的情况，分别为(－2,1)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,3)，(－2，－1)，(1,3)，满足乘积不超过1的为(－2,1)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,3)，共有4种不同的情况，因此所求的概率为P＝＝，故选B.
4．(2024·辽宁部分学校摸底)某商家为了吸引顾客，促销商品，推出消费满额砸金蛋的活动．某顾客共获得2次砸金蛋的机会，若该顾客砸金蛋时还剩9个金蛋，其中只有3个金蛋有奖券，则该顾客砸出奖券的概率为( )
A．B．
C．D．
[答案] D
[解析] 所求概率为1－＝.故选D.
5．(2025·湖南八校联合质检)某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] 设样本空间为Ω，则n(Ω)＝C＝126，设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A，则n(A)＝CCC＋CCC＋CCC＝72，所以P(A)＝＝＝.故选B.
6．(2024·江苏苏锡常镇四市调研)有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] 所求概率P＝＝.故选B.
7．(2024·江苏南通质检)今年春节，《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没之逆转时空》《第二十条》引爆了电影市场，小帅和他的同学一行四人决定去看电影．若小帅要看《飞驰人生2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] 分两种情况讨论：(1)小帅和其中一个同学同时看《飞驰人生2》，另外两个看剩余三部电影中的两部，此时所求概率为＝＝；(2)观看《飞驰人生2》只有小帅一人，只需要将剩余三人分成两组，再将这两组人分配给两部电影，此时所求概率为＝＝；综上，恰有两人看同一部影片的概率为×2＝.
8．(2025·浙江嘉兴测试)将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9随机填入3×3的正方形格子中，则每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为( )
A．B．
C．D．
[答案] A
[解析] 计算可知每行、每列数字之和都为15，符合题意的填写方法有如下8种：

而9个数填入9个格子有9！种方法，
所以所求概率为P＝，故选A．
二、多选题
9．(2024·湖北部分学校期中联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1D1的中点．取点B1，C，E，F，若一条直线过其中两点，另一条直线过另外两点，则( )
A．两条直线为异面直线是必然事件
B．两条直线互相垂直的概率为
C．两条直线互相平行与互相垂直是对立事件
D．两条直线都与直线AC1垂直是不可能事件
[答案] ABD
[解析] 因为点B1，C，E，F不共面，所以两条直线为异面直线，故A正确；过四点的两条直线共有3种情况，其中仅当一条直线过B1，F，另一条直线过C，E时，这两条直线相互垂直，故相互垂直的概率为，故B正确；两条直线互相平行的概率为0，而两条直线互相垂直的概率小于1，故两条直线互相平行与互相垂直不是对立事件，故C错误；B1C，B1E，B1F中，只有B1C与AC1垂直，且当B1C⊥AC1时，EF与AC1不垂直，故D正确．
10．高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是( )

A．学生成绩众数估计为75分
B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分
C．在[90,100]内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01
D．从[40,50)和[90,100]内各抽1名学生，[70,80)抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13
[答案] AB
[解析] 由频率分布直方图得，成绩在[70,80)的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确；因为0.010×10＋0.015×10＋0.020×10＋0.030×10＝0.75，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确；因为成绩在[90,100]内的人数为100×0.010×10＝10，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为0.1，故C错误；由P＝＝知，故D错误．故选AB.
11．(2024·辽宁鞍山质检)甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是( )
A．若从甲盒中一次性取出2个球，记X表示取出白球的个数，则P(X＝1)＝
B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为
C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回则恰好得到2个白球的概率为
D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记B：从乙盒中取出的1球为白球，则P(B)＝
[答案] BCD
[解析] P(X＝1)＝＝，A错误；从甲、乙盒中各取一球恰好取出一个白球的概率为P＝＝，B正确；P＝＝，C正确；P(B)＝＝，D正确．故选BCD.
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