提能训练 练案[67]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2024·陕西西安八校联考)已知某随机变量X的分布列如图表，则随机变量X的方差D(X)＝( )
X
0
20
40

P
m
2m
m

A．120B．160
C．200D．260
[答案] C
[解析] 由题可知m＋2m＋m＝1，解得m＝，则E(X)＝0×m＋40m＋40m＝80m＝20；故D(X)＝(0－20)2＋(20－20)2＋(40－20)2＝100＋0＋100＝200.故选C.
2．(2025·浙江名校新高考研究联盟联考)已知随机变量X的分布列如下表所示，则E(2X＋1)＝( )
X
1
2
3

P

a


A．B．
C．D．
[答案] C
[解析] 由分布列可得＋a＋＝1，解得a＝，则E(X)＝1×＋2×＋3×＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝.故选C.
3．(2023·江苏镇江一中阶段练习)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是( )
A．P(X＝1)＝E(X)B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4D．D(X)＝
[答案] C
[解析] 随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，∴P(X＝1)＝，E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝2×＋2×＝，在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝4，故B正确；在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×＝2，故C错误；在D中，D(X)＝，故D正确．故选C.
4．(2023·山东枣庄模拟)口袋中装有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)＝( )
A．B．
C．D．
[答案] A
[解析] 由题意，X可能取值为2,3，
X＝2包含事件为取出的两个球为1,2，
所以P(X＝2)＝＝，
X＝3包含事件为取出的两个球为1,3或2,3，
所以P(X＝3)＝＝，
E(X)＝2×＋3×＝，
D(X)＝×2＋×2＝.
.
故选A．
5．近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617,2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量X＝，当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量X＝1，则E(X)＝( )
A．B．
C．D．
[答案] B
[解析] 从这4个数字中任取2个数字，结果有6种，
|1617－2106|＝489，|1617－2329|＝712，
|1617－2896|＝1279，|2106－2329|＝223，
|2106－2896|＝790，|2329－2896|＝567，
所取两个数字差的绝对值小于500的结果有2种，
故P＝，不小于500的结果有4种，故P(X＝1)＝，
所以E(X)＝×＋1×＝，故选B.
6．(2025·四川成都石室中学模拟)A、B两位同学各有2张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止，那么恰好掷完6次硬币时游戏终止的概率是( )
A．B．
C．D．
[答案] C
[解析] 设A赢得B卡片为事件A，B赢得A卡片为事件B，依题意，在第6次硬币投掷时游戏结束，如果是A赢了B的卡片，则必然是以下4种情形中的一种：ABABAA，ABBAAA，BABAAA，BAABAA；如果是B赢得了A的卡片，则必然是以下4种情形中的一种：BABABB，BAABBB，ABABBB，ABBABB，所以第6次投掷硬币游戏结束的概率为6×2×4＝，故选C.
7．(2024·河南南阳一中开学考)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝( )
A．3B．
C．D．4
[答案] B
[解析] 由题意知，ξ的可能取值为2,3,4，其概率分别为P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，所以E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.故选B.
二、多选题
8．(2025·河南调研)随机投掷一枚质地均匀的骰子3次，记3次掷出的点数之积为X，掷出的点数之和为Y，则( )
A．事件“X＝2”和“Y＝4”相等
B．事件“X＝4”和“Y＝6”互斥
C．X为奇数的概率为
D．Y≥0,1≥1－≥0，∴0≤p≤.
∴当p＝时，E(X)的值最小，E(X)＝2－＝.
12．(2025·湖南长沙长郡中学月考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝________.

[答案]
[解析] X的所有可能取值为0,1,2,3，大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3面油漆；每一条棱上除了两个顶点处的小正方体外剩余的都涂有两面油漆，所以涂有两面油漆的有3×12＝36个；每个表面去掉四条棱上的16个小正方体，还剩9个小正方体，这9个都是一面涂漆，所以一共有9×6＝54个小正方体涂有一面油漆；剩余的125－(8＋36＋54)＝27个内部的小正方体6个面都没有涂油漆，所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
13．(2024·湖南三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体联考)小明准备用9万元投资A，B两种股票，已知这两种股票的收益独立，且这两种股票的买入价都是每股1元，每股收益的分布列如下表所示．若投资A种股票a万元，则小明两种股票的收益期望和为________万元.
收益X/元
－1
0
3


概率
0.3
0.2
0.5



收益Y/元
－3
4

概率
0.4
0.6

[答案] 10.8
[解析] E(X)＝－1×0.3＋0×0.2＋3×0.5＝1.2；E(Y)＝－3×0.4＋4×0.6＝1.2.若投资A股票a元，则投资B股票90000－a元，E(aX)＋E[(90000－a)Y]＝aE(X)＋(90000－a)E(Y)＝90000×1.2＝108000，即小明两种股票的收益期望和为10.8万元．
四、解答题
14．(2024·九省联考试题)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
[解析] (1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，先确定3个不同数字的小球，有C种方法，
然后每种小球各取1个，有C×C×C种取法，
所以P(M)＝＝.
(2)由题意可知，X的可能取值为1,2,3，
当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，
所以P(X＝1)＝＝；
当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，
所以P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，
所以P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X
1
2
3

P




所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
15．(2024·安徽安庆、池州、铜陵三市联考)为发展体育运动，增强学生体质，甲乙两班各5名同学进行羽毛球友谊赛，每...