提能训练 练案[69]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2025·辽宁七校协作体联考)已知随机变量X～N(2，σ2)，且P(X>3)＝0.2，则P(13)＝0.2，所以P(13)＝0.6.故选B.
2．(2024·安徽阜阳统测)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则( )

A．μ1σ2
C．μ1>μ2，σ1μ2，σ1>σ2
[答案] A
[解析] 正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线，σ越大，曲线的最高点越低且弯曲较平缓，反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭．故选A.
3．(2023·河北唐山一模)随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(XP(|Y－μ2|≤1)
[答案] ACD
[解析] 由正态分布的性质得，E(X)＝μ，D(X)＝σ，故A正确，B错误；对于C，由正态分布的对称性得，P(X≤1)＝P(X≥3)，所以P(X≤1)＋P(X≤3)＝P(X≥3)＋P(X≤3)＝1，故C正确；对于D，由σ1＝2，σ2＝3，则σ＝4，σ＝9，根据方差的性质知，X分布更集中，所以P(|X－μ1|≤1)>P(|Y－μ2|≤1)，故D正确．故选ACD.
8．(2025·安徽县中联盟联考)为了解某品牌纯净水实际生产容量(单位：mL)情况，某中学研究小组抽取样本，得到该品牌纯净水的实际容量的样本均值为＝600，样本方差s2＝2.25，假设该品牌纯净水的实际容量X服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.955)( )
A．P(X≤597)>0.02
B．P(X≥603)>0.04
C．P(597≤X≤598.5)P(|X－20|≤8)，故P(X≤28)P(Y≤25)，故小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车，故D正确．所以选BCD.
三、填空题
11．(2025·福建泉州模拟)已知随机变量ξ～N(2,32)，若P(ξ2a＋1)，则实数a的值为________.
[答案] 2
[解析] 由正态分布的对称性得，a－3＋2a＋1＝2×2，解得a＝2.
12．(2024·江苏南通质检)已知随机变量X～N(2，σ2)，且P(X>1)＝0.7，则P(21)＝0.7，所以P(21)－0.5＝0.2.
13．(2024·辽宁名校联盟模拟)若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≥4)＝P(X≤1)＝0.4，则P＝________.
[答案] 0.1
[解析] 因为X～N(μ，σ2)，且P(X≥4)＝P(X≤1)＝0.4，则μ＝＝，所以P＝P－P(X≥4)＝0.5－0.4＝0.1.
14．(2024·福建泉州外国语学校适应性考试)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.9545，至少要测量________次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|3.841，
所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关．
(2)从所有参赛学生中任取一人是“科技知识达人”的概率p＝，由题意可知：ξ～B，ξ的可能取值为0,1,2,3，
则P(ξ＝0)＝C×3×0＝，
P(ξ＝1)＝C×2×1＝，
P(ξ＝2)＝C×1×2＝，
P(ξ＝3)＝C×0×3＝，
所以ξ的分布列为
X
0
1
2
3

P





所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
C组拓展应用(选作)
(2024·湖北七市州调研)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体
育锻炼次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计

男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30

女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30

合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60

(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
性别
锻炼
合计


不经常
经常


男生




女生




合计




(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求E(X)和D(X)；
(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α
0.1
0.05
0.01

xα
2.706
3.841
6.635

[解析] (1)根据统计表格数据可得列联表如下：
性别
锻炼
合计


不经常
经常


男生
7
23
30

女生
14
16
30

合计
21
39
60

零假设为H0：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得
χ2＝＝＝≈3.590>2.706＝x0.1，
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，推断H0不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.
(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率P＝＝.即可得X～B，
故E(X)＝20×＝，D(X)＝20××＝.
(3)易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以Y的所有可能取值为0,1,2,3；
且Y服从超几何分布：
P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝＝，
P(Y＝2)＝＝＝，
P(Y＝3)＝＝＝，
故所求分布列为
Y
0
1
2
3

P





可得E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝2.1.
本资料由【小草数学网】www.tkdd.net从网络为您收集整理部分为网友提供。
资料版权属原作者，如侵犯您的权益请联系，均无条件删除。
本站还提供职称论文、课题论文等写作及发表服务，具体请浏览网站。
还可以免费给你找资料，请到如下网址留言：www.tkdd.net/ask/index.asp...