2026《衡中学案》高考一轮总复习 数学提能训练 练案[70] 人教版
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提能训练 练案[70]
1．(2025·湖南名校联考联合体摸底)近年来，我国新能源汽车进入快车道，自2015年以来，产销量已经连续八年增长，位居全球前列．近期国务院出台了新能源汽车系列政策，促进了新能源汽车产业的发展．某市一家知名品牌的新能源汽车企业近5个月的产值数据统计如下表：
月份
6月
7月
8月
9月
10月
月份代码x
1
2
3
4
5
产值y(百亿元)
16
20
27
30
37
(1)求出y关于x的经验回归方程，并预测明年3月份该企业的产值；
(2)该企业依据市场调研，为满足消费者的购买需求，设计并生产了A，B，C三种类型新能源汽车，这三种类型的销量比依次为30%,50%,20%，销售价格依次为15万，25万，40万．若该新能源汽车的某4S店每天销售2台，设销售额为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：＝，＝－；
参考数据：iyi＝442，＝55，＝26.
[解析] (1)＝＝3，＝26.
所以＝＝5.2，
＝－＝26－5.2×3＝10.4，
所以y关于x的经验回归方程为＝5.2x＋10.4，
当x＝10时，＝5.2×10＋10.4＝62.4，
故明年3月份该企业的产值约为62.4百亿元．
(2)由题设随机变量X的可能取值为30,40,50,55,65,80，
P(X＝30)＝0.3×0.3＝0.09，
P(X＝40)＝2×0.3×0.5＝0.30，
P(X＝50)＝0.5×0.5＝0.25，
P(X＝55)＝2×0.3×0.2＝0.12，
P(X＝65)＝2×0.5×0.2＝0.20，
P(X＝80)＝0.2×0.2＝0.04.
随机变量X的分布列如下表
X
30
40
50
55
65
80
P
0.09
0.30
0.25
0.12
0.20
0.04
E(X)＝30×0.09＋40×0.30＋50×0.25＋55×0.12＋65×0.20＋80×0.04＝50(万元)．
2．(2025·山东部分学校质检)电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV－8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为9∶11，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人．
(1)完成2×2列联表，并根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？
男性居民
女性居民
总计
看过《庆余年2》
没看过《庆余年2》
50
总计
1000
(2)在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α
0.01
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828
[解析] (1)男居民人数＝1000×＝450人，女居民人数＝1000－450＝550人，
设看过《庆余年2》的人数为x，没看过《庆余年2》的人数为y，
则?
男性居民
女性居民
总计
看过《庆余年2》
400
500
900
没看过《庆余年2》
50
50
100
总计
450
550
1000
提出假设H0：是否观看过《庆余年2》与性别无关，
χ2＝＝1.122，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大．
4．某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元，在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元．在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为
T
4
5
6
7
P
0.3
0.2
0.4
0.1
X表示2台设备使用期间需要更换的零件个数，n代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数．
(1)求X的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在n＝10和n＝11中，应选择哪一个？
[解析] (1)由题意X可能取值为8,9,10,11,12,13,14.
则P(X＝8)＝0.3×0.3＝0.09，
P(X＝9)＝2×0.3×0.2＝0.12，
P(X＝10)＝2×0.3×0.4＋0.2×0.2＝0.28，
P(X＝11)＝2×0.3×0.1＋2×0.2×0.4＝0.22，
P(X＝12)＝2×0.2×0.1＋0.4×0.4＝0.2，
P(X＝13)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(X＝14)＝0.1×0.1＝0.01，
则X的分布列为
X
8
9
10
11
12
13
14
P
0.09
0.12
0.28
0.22
0.2
0.08
0.01
(2)记Y1为当n＝10时购买零件所需费用，Y1的可能取值为2000,2320,2640,2960,3280，
则P(Y1＝2000)＝P(X≤10)＝0.09＋0.12＋0.28＝0.49，
P(Y1＝2320)＝P(X＝11)＝0.22，
P(Y1＝2640)＝P(X＝12)＝0.2，
P(Y1＝2960)＝P(X＝13)＝0.08，
P(Y1＝3280)＝P(X＝14)＝0.01，
则E(Y1)＝2000×0.49＋2320×0.22＋2640×0.2＋2960×0.08＋3280×0.01＝2288.
记Y2为当n＝11时购买零件所需费用，Y2的可能取值为2200,2520,2840,3160，
则P(Y2＝2200)＝P(X≤11)＝0.09＋0.12＋0.28＋0.22＝0.71，
P(Y2＝2520)＝P(X＝12)＝0.2，
P(Y2＝2840)＝P(X＝13)＝0.08，
P(Y2＝3160)＝P(X＝14)＝0.01，
则E(Y2)＝2200×0.71＋2520×0.2＋2840×0.08＋3160×0.01＝2324.8，
显然E(Y1)
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1．(2025·湖南名校联考联合体摸底)近年来，我国新能源汽车进入快车道，自2015年以来，产销量已经连续八年增长，位居全球前列．近期国务院出台了新能源汽车系列政策，促进了新能源汽车产业的发展．某市一家知名品牌的新能源汽车企业近5个月的产值数据统计如下表：
月份
6月
7月
8月
9月
10月
月份代码x
1
2
3
4
5
产值y(百亿元)
16
20
27
30
37
(1)求出y关于x的经验回归方程，并预测明年3月份该企业的产值；
(2)该企业依据市场调研，为满足消费者的购买需求，设计并生产了A，B，C三种类型新能源汽车，这三种类型的销量比依次为30%,50%,20%，销售价格依次为15万，25万，40万．若该新能源汽车的某4S店每天销售2台，设销售额为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：＝，＝－；
参考数据：iyi＝442，＝55，＝26.
[解析] (1)＝＝3，＝26.
所以＝＝5.2，
＝－＝26－5.2×3＝10.4，
所以y关于x的经验回归方程为＝5.2x＋10.4，
当x＝10时，＝5.2×10＋10.4＝62.4，
故明年3月份该企业的产值约为62.4百亿元．
(2)由题设随机变量X的可能取值为30,40,50,55,65,80，
P(X＝30)＝0.3×0.3＝0.09，
P(X＝40)＝2×0.3×0.5＝0.30，
P(X＝50)＝0.5×0.5＝0.25，
P(X＝55)＝2×0.3×0.2＝0.12，
P(X＝65)＝2×0.5×0.2＝0.20，
P(X＝80)＝0.2×0.2＝0.04.
随机变量X的分布列如下表
X
30
40
50
55
65
80
P
0.09
0.30
0.25
0.12
0.20
0.04
E(X)＝30×0.09＋40×0.30＋50×0.25＋55×0.12＋65×0.20＋80×0.04＝50(万元)．
2．(2025·山东部分学校质检)电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV－8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为9∶11，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人．
(1)完成2×2列联表，并根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？
男性居民
女性居民
总计
看过《庆余年2》
没看过《庆余年2》
50
总计
1000
(2)在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α
0.01
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828
[解析] (1)男居民人数＝1000×＝450人，女居民人数＝1000－450＝550人，
设看过《庆余年2》的人数为x，没看过《庆余年2》的人数为y，
则?
男性居民
女性居民
总计
看过《庆余年2》
400
500
900
没看过《庆余年2》
50
50
100
总计
450
550
1000
提出假设H0：是否观看过《庆余年2》与性别无关，
χ2＝＝1.122，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大．
4．某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元，在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元．在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为
T
4
5
6
7
P
0.3
0.2
0.4
0.1
X表示2台设备使用期间需要更换的零件个数，n代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数．
(1)求X的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在n＝10和n＝11中，应选择哪一个？
[解析] (1)由题意X可能取值为8,9,10,11,12,13,14.
则P(X＝8)＝0.3×0.3＝0.09，
P(X＝9)＝2×0.3×0.2＝0.12，
P(X＝10)＝2×0.3×0.4＋0.2×0.2＝0.28，
P(X＝11)＝2×0.3×0.1＋2×0.2×0.4＝0.22，
P(X＝12)＝2×0.2×0.1＋0.4×0.4＝0.2，
P(X＝13)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(X＝14)＝0.1×0.1＝0.01，
则X的分布列为
X
8
9
10
11
12
13
14
P
0.09
0.12
0.28
0.22
0.2
0.08
0.01
(2)记Y1为当n＝10时购买零件所需费用，Y1的可能取值为2000,2320,2640,2960,3280，
则P(Y1＝2000)＝P(X≤10)＝0.09＋0.12＋0.28＝0.49，
P(Y1＝2320)＝P(X＝11)＝0.22，
P(Y1＝2640)＝P(X＝12)＝0.2，
P(Y1＝2960)＝P(X＝13)＝0.08，
P(Y1＝3280)＝P(X＝14)＝0.01，
则E(Y1)＝2000×0.49＋2320×0.22＋2640×0.2＋2960×0.08＋3280×0.01＝2288.
记Y2为当n＝11时购买零件所需费用，Y2的可能取值为2200,2520,2840,3160，
则P(Y2＝2200)＝P(X≤11)＝0.09＋0.12＋0.28＋0.22＝0.71，
P(Y2＝2520)＝P(X＝12)＝0.2，
P(Y2＝2840)＝P(X＝13)＝0.08，
P(Y2＝3160)＝P(X＝14)＝0.01，
则E(Y2)＝2200×0.71＋2520×0.2＋2840×0.08＋3160×0.01＝2324.8，
显然E(Y1)
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