提能训练 练案[7]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2025·菏泽检测)下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是( )
A．y＝－x2＋1B．y＝
C．y＝D．y＝3－x
[答案] B
[解析] y＝－x2＋1在区间(0,1)上单调递减，故A不符合题意；y＝是[0，＋∞)上的增函数，所以在区间(0,1)上单调递增，故B符合题意；y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以在区间(0,1)上单调递减，故C不符合题意；y＝3－x在区间(0,1)上单调递减，故D不符合题意．
2．函数y＝的单调递减区间为( )
A.B．
C．[0，＋∞)D．(－∞，－3]
[答案] D
[解析] 由题意，x2＋3x≥0，可得x≤－3或x≥0，函数y＝的定义域为(－∞，－3]∪[0，＋∞)．令t＝x2＋3x，则外层函数y＝在[0，＋∞)上单调递增，内层函数t＝x2＋3x在(－∞，－3]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝的单调递减区间为(－∞，－3]．
3．(2024·黄冈中学一模)已知定义域为R的函数f(x)，?x1，x2∈R，x13>2，故f(π)1，所以f(x)＝在区间[1,2]上单调递减，所以函数f(x)＝在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是f(1)＝＝，f(2)＝＝.
6．(2025·鞍山一中月考)函数f(x)＝在区间(－3，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
[答案] B
[解析] f(x)＝＝＝a＋，因为f(x)在(－3，＋∞)上单调递增，所以1－3a，即实数a的取值范围为.
7．(2025·黑龙江大庆月考)已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)f(b)>f(c)B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b)D．f(c)>f(a)>f(b)
[答案] A
[解析] f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且此时f(x)>0.f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，
所以f(x)在R上单调递增．
c＝log20.91，
即a>b>c，
所以f(a)>f(b)>f(c)．
二、多选题
10．已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是( )
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x20
[答案] CD
[解析] 根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2x2，若>0，必有f(x1)－f(x2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．
11．(2024·广东省名校联考改编)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论中不正确的是( )
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝logf(x)在R上为减函数
D．y＝2－f(x)在R上为减函数
[答案] ABC
[解析] 对于A、B若f(x)＝x，则A、B都错；对于C，当f(x)0的解集为________.
[答案]
[解析] 由f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x为奇函数，又易证在定义域R上，f(x)是增函数，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等价于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，则2x＋1>－x＋2，即x>，故不等式的解集为.
15．已知一次函数f(x)＝(4a－2)x＋3在[－2,1]上的最大值为9，则实数a的值为________.
[答案] 2或－
[解析] 当4a－2>0时，f(x)在[－2,1]上单调递增，
∴∴则a＝2；当4a－20，(x2－3)(x1－3)>0，
∴0”的可以是( )
A．f(x)＝B．f(x)＝(1－x)2
C．f(x)＝e1－xD．f(x)＝ln(x＋1)
[答案] AC
[解析] 由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A中，f(x)＝满足要求；B中，f(x)＝(1－x)2在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C中，f(x)＝e1－x是减函数；D中，f(x)＝ln(x＋1)是增函数．故选AC.
2．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(3－x)的单调递增区间是( )
A．(3，＋∞)B．(－1,1)
C．(1,3)D．(－∞，－1)
[答案] C
[解析] 由已知易得即－11时，f(x)＝－x2＋3为减函数，则此时f(x)0时，f(x)＝3x＋m递增，可得f(x)>1＋m，由题意可得1＋m≥－2，解得m≥－3.
5．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①f＝f(x1)－f(x2)；②当x>1时，f(x)f(2－x)的解集．
[解析] (1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，
故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则>1，由于当x>1时，f(x)f(2－x)等价于
解得－故原不等式的解集为.
C组拓展应用(选作)
如果函数y＝f(x)在区间I上是减函数，且函数y＝在区间I上是增函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“可变函数”，区间I叫作“可变区间”．若函数f(x)＝x2－4x＋2是区间I上的“可变函数”，则“可变区间”I为( )
A．(－∞，－]和[，2] B．[，2]
C．(0，] D．[1，]
[答案] A
[解析] 因为函数f(x)＝x2－4x＋2图象的对称轴为直线x＝2，
所以函数y＝f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，
又当x≤2且x≠0时，＝x＋－4，
令g(x)＝x＋－4(x≤2且x≠0)，
则g(x)在(－∞，－]和[，2]上单调递增，
故f(x)的“可变区间”I为(－∞，－]和[，2]．

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