提能训练 练案[8]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2024·上海春考)下列函数是偶函数的是( )
A．y＝sinxB．y＝cosx
C．y＝x3D．y＝3x
[答案] B
[解析] 对于B，因为cos(－x)＝cosx，所以函数y＝cosx为偶函数，故B正确；对于A，因为sin(－x)＝－sinx，所以函数y＝sinx为奇函数，故A不正确；对于C，因为(－x)3＝－x3，所以函数y＝x3为奇函数，故C不正确；对于D，因为3－x＝，所以函数y＝3x为非奇非偶函数，故D不正确．综上所述，选B.
2．(2024·东北三省三校第一次联合模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当xf(a－1)，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D.∪
[答案] C
[解析] 显然f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，∴f(3a－2)>f(a－1)?|3a－2|>|a－1|?(3a－2)2>(a－1)2?a>或af(4)＝0，故选项D错误．
三、填空题
12．若y＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________.
[答案] 2
[解析] 根据题意，设f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin＝x2－2x＋ax＋1＋cosx，
若f(x)为偶函数，则f(－x)＝x2＋2x－ax＋1＋cosx＝x2－2x＋ax＋1＋cosx＝f(x)，
变形可得(a－2)x＝0在R上恒成立，必有a＝2.
13．设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝________.－2≤x≤0时，f(x)＝________.
[答案] 7 2x＋9
[解析] 因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.
14．已知函数f(x)，对?x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝________.
[答案] 1
[解析] ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(26)＝f(2)．
∵对?x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.
15．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(lnx)＋f(lnx－1)>0的解集是________.
[答案] (，＋∞)
[解析] 因为f(x)＝ex－e－x，定义域为R，
且f(－x)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故其为奇函数，
又y＝ex，y＝－e－x均为增函数，故f(x)为R上的增函数，
则原不等式等价于f(lnx)>f(1－lnx)，
即lnx>1－lnx，整理得lnx>，
解得x>，故不等式的解集为(，＋∞)．
B组能力提升
1．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x10，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)0，所以x2>－x1>0，又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)1时，f(x)1，
∵当x>1时，f(x)0，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x＋4)＝f(x)
C．f(22)＝0
D．f(x)在(－4，－2)上单调递减
[答案] ABC
[解析] 由y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(1＋x－1)＝f(1－x－1)，即f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函数，故选项A正确；由f(x＋4)－f(x)＝2f(2)，令x＝－2，可得f(2)＝0，则f(x＋4)＝f(x)，则f(x)的周期T＝4，故选项B正确；f(22)＝f(4×5＋2)＝f(2)＝0，故选项C正确；又f(x)在(0,2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，因为周期T＝4，则f(x)在(－4，－2)上单调递增，故选项D错误，故选ABC.

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