提能训练 练案[9]
A组基础巩固
一、单选题
1．若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(1,3)
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝x2－ax＋1有负值，∴Δ＝a2－4>0，则a>2或a0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中不符合；
对于C，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合；
对于D，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合．
7．已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2]B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞)D．(－∞，4]
[答案] B
[解析] 因为f(x)>0的解集为(－1,3)，所以－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1,3，所以得令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m.当x∈[－1,0]时，g(x)min＝m，因为g(x)≥4在[－1,0]上恒成立，所以m≥4.故选B.
二、多选题
9．下列关于幂函数的论述正确的是( )
A．若α＝0，则幂函数y＝xα的图象是一条直线
B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同
C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点(－1，－1)
D．幂函数的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点(1，－1)
[答案] CD
[解析] 由题意利用幂函数的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．若α＝0，则幂函数y＝xα的图象是一条直线上去掉点(0,1)，故A错误；若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数不一定相同，例如函数y＝x和y＝x3有3个交点，分别为(1,1)、(0,0)、(－1，－1)，故B错误；幂函数的图象都过点(1,1)，∵幂函数为奇函数，∴图象关于原点对称，故它的图象一定经过点(－1，－1)，故C正确；对于幂函数y＝xα的图象，令x＝1，可得1α＝1，故它的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点(1，－1)，故D正确．故选CD.
10．(2024·浙江衢州月考)已知幂函数f(x)＝xm，则下列结论正确的有( )
A．f(－32)＝
B．f(x)的定义域是R
C．f(x)是偶函数
D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1,1)∪(1,3]
[答案] ACD
[解析] 因为函数是幂函数，所以m＋＝1，得m＝－，即f(x)＝x－，f(－32)＝[(－2)5]－＝(－2)－4＝，故A正确；函数的定义域是{x|x≠0}，故B不正确；∵f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，故C正确；函数f(x)＝x－在(0，＋∞)是减函数，不等式f(x－1)≥f(2)等价于|x－1|≤2，解得－2≤x－1≤2，且x－1≠0，得－1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是[－1,1)∪(1,3]，故D正确．故选ACD.
11．已知函数y＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的值可以为( )
A．1B．2
C．3D．4
[答案] BC
[解析] 函数y＝x2－4x＋1是开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线，
因为函数的定义域为[1，t]，
所以当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3，
因为在[1，t]内函数的最大值与最小值之和为－5，
所以当y＝－2时，x＝1或x＝3，所以2≤t≤3.

三、填空题
12．(2024·大庆模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)＝________.
[答案] 211
[解析] 由题意可知
解得m＝2，所以f(x)＝x11，f(2)＝211.
13．已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的表达式为____________________________.
[答案] y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋
[解析] 因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，
所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，
展开得y＝ax2＋2ax－3a，
顶点的纵坐标为＝－4a，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2.
所以|－4a|＝2，即a＝±，
所以二次函数的表达式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.
14．已知函数f(x)＝xα＋2x(α≠0)，且f(4)＝10，则α＝________，若f(m)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________.
[答案]
[解析] f(4)＝4α＋2×4＝10，即4α＝2，所以α＝，所以f(x)＝x＋2x＝＋2x，其定义域为[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数．由f(m)>f(－m＋1)可得解得0)，
则f(0)＝a＋1＝3，
解得a＝2.
故f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)∵>，
∴f(x)max＝f＝2×2＋1＝，
即f(x)在上的最大值为.
(3)∵函数f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，
∴2a1且p，q互质)的图象如图所示，则( )

A．p，q均为奇数，且>1
B．q为偶数，p为奇数，且>1
C．q为奇数，p为偶数，且>1
D．q为奇数，p为偶数，且00，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
[答案] A
[解析] ∵函数f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是幂函数，∴m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.∵对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴m2－6>0，∴m＝3，∴f(x)＝x3.若a，b∈R，且a＋b>0，则a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.故选A.
4．函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于直线x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有f(2a－3)，求实数a的取值范围．
[解析] (1)由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值，可得结论．
∵幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)xm－的图象过点(4,2)，∴m2－2m＋1＝1,4m－＝2，求得m＝2，
故有f(x)＝x.
(2)f(x)＝x在其定义域[0，＋∞)上单调递增．
证明：设x2>x1≥0，即x2－x1>0，
则f(x2)－f(x1)＝－＝>0，即f(x2)>f(x1)，
故函数f(x)在其定义域[0，＋∞)上单调递增．
(3)由题意利用函数的单调性的定义、函数的定义域，求得a的范围．
若f(a＋1)>f(2a－3)，则>，∴a＋1>2a－3≥0，求得≤a0恒成立，
令g(x)＝2x2－8x＋11－(2x＋2m＋1)＝2x2－10x＋10－2m，
即g(x)＝2x2－10x＋10－2m>0恒成立，
则Δ＝(－10)2－4×2×(10－2m)1时，m(x)>2，a≤2；
③当x－2，a≤－2.
综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．
(2)f(x)＝
得f(1)＝0，f(2)＝3－a，f(－2)＝3－3a，
①当a≥3时，
∵f(－2)②当0≤a<3时，
∵f(－2)≤f(2)，f(1)∴M(a)＝3－a；
③当a<0时，
∵f(1)∴M(a)＝3－3a.
∴M(a)＝

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