10.2离散型随机变量及其分布列、均值、方差

五年高考

考点离散型随机变量及其分布列、均值与方差

1.(2020课标Ⅲ理,3,5分,易)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且i=14pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是()

A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4

B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1

C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3

D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2

答案 B

2.(2019浙江,7,4分,中)设0E(X),

所以小明应选择先回答B类问题.

6.(2022北京,18,13分,中)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):

甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;

乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;

丙:9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;

(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望EX;

(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)

解析(1)甲以往参加的10次比赛中,有4次比赛成绩达到获得优秀奖的标准,则甲得优秀奖的概率P=410=25.

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,设甲、乙、丙获得优秀奖分别为事件A,B,C,则A,B,C,A,B,C相互独立,且P(A)=25,P(B)=P(C)=12,P(A)=1-P(A)=1-25=35,P(B)=P(C)=12,

则P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=35×12×12=320;

P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)·P(B)P(C)=25×12×12+35×12×12+35×12×12=820=25;

P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)·P(B)P(C)=25×12×12+25×12×12+35×12×12=720;

P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25×12×12=110.

故X的数学期望E(X)=0×320+1×25+2×720+3×110=75.

(3)丙.

详解:乙夺冠的概率为P(乙)=16×910×34+16×45×12+16×35×12+16×310×12+16×15×12=1348,

丙夺冠的概率为P(丙)=14+14×45×56=512,

甲夺冠的概率为P(甲)=1-512?1348=516,

P(丙)最大,所以丙夺冠的概率最大.

7.(2021新高考Ⅱ,21,12分,难)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).

(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p0,

当x∈(x1,x2)时,f'(x)1,因为f(1)=0且f(x)在(0,x2)上为减函数,

故1为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根.

综上,若E(X)≤1,则p=1.

若E(X)>1,则p1+2p2+3p3>1,则p2+2p3>p0,

此时f'(0)=-(p2+p0+p3)0,

故f'(x)有两个不同零点x3,x4且x30,所以f(x)在(0,x4)上存在一个零点x0,且x01时,pD(ξ2)

D.D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1,x2,x3,x4,x5的取值有关

答案 C

2.(2025届湖北武汉重点校第一次联考,17)为倡导节能环保,实现废旧资源再利用,小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换,其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶,小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶,他们每次等可能地各取一件玩具进行交换.

(1)两人进行一次交换后,求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率;

(2)两人进行两次交换后,记X为“小明手中玩偶的个数”,求随机变量X的分布列和数学期望.

解析(1)若两人交换的是玩具车,则概率为12×12=14,

若两人交换的是玩偶,则概率为12×12=14,

故两人进行一次交换后,小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为14+14=12.

(2)X可取的值为0、1、2、3、4,

一次交换后,小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为12×12=14,有3个玩偶和1台玩具车的概率为12×12=14,

经过两次交换后P(X=0)=14×14×14=164,

P(X=1)=14×14×34+14×34×14+12×12×12=732,

P(X=2)=14×34×34+14×34×34+12×12×12+12×12×12=1732,

P(X=3)=14×14×34+14×34×14+12×12×12=732,

P(X=4)=14×14×14=164,

故随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

164

732

1732

732

164

∴E(X)=0×164+1×732+2×1732+3×732+4×164=2.

创新风向练

(创新知识交汇)(2024浙江五校联盟联考,17)记复数的一个构造:从数集{0,1,3}中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复n次这样的构造,可得到n个复数,将它们的乘积记为zn.已知复数具有运算性质:|(a+bi)·(c+di)|=|(a+bi)|·|(c+di)|,其中a,b,c,d∈R.

(1)当n=2时,记|z2|的取值为X,求X的分布列;

(2)当n=3时,求满足|z3|≤2的概率;

(3)求|zn|<5的概率Pn.

解析(1)由题意可知,可构成的复数为{1,i,3,3i,1+3i,3+i},共6个复数,

模为|1|=|i|=1,|3|=|3i|=3,|1+3i|=|3+i|=2.

X的可能取值为1,3,2,3,23,4,

P(X=1)=C21·C21C61·C61=19,P(X=3)=C41·C21C61·C61=29,P(X=2)=C41·C21C61·C61=29,P(X=3)=C21·C21C61·C61=19,P(X=23)=C41·C21C61·C61=29,P(X=4)=C21·C21C61·C61=19,

所以X的分布列为

X

1

3

2

3

23

4

P

19

29

29

19

29

19

(2)z3可能的结果共有C61·C61·C61=216种,

满足|z3|≤2的情况有:

①3个复数的模均为1,共有...