10 3 二项分布 超几何分布及正态分布——2026版53高考总复习精练册word 人教版
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10.3二项分布、超几何分布及正态分布
高考新风向·回顾教材思维引导回归本质
(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分,中)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z2)>0.2 B.P(X>2)2)>0.5 D.P(Y>2)0;
当p∈(0.1,1)时,f'(p)400,故应该对这箱余下的所有产品作检验.
3.(2020北京,18,14分,中)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;
(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;
(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)
解析(1)设“该校男生支持方案一”为事件A,“该校女生支持方案一”为事件B.
依题意知,抽取的样本中共有男生600人,其中支持方案一的有200人,
故P(A)=200600=13;抽取的样本中共有女生400人,其中支持方案一的有300人,
故P(B)=300400=34.
(2)由(1)可知,“该校男生支持方案一”的概率估计值为13;“该校女生支持方案一”的概率估计值为34.
设“抽取的该校2个男生和1个女生中,支持方案一的恰有2人”为事件C,该事件包括“2个男生均支持方案一而女生不支持方案一”“2个男生中有且只有1人支持方案一且女生支持方案一”,故所求概率为
P(C)=132×1?34+C21×13×1?13×34=1336.
(3)p180160=12,
则p2>p0,故可知该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即p13.841,
∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
考点3正态分布
1.(2021新高考Ⅱ,6,5分,易)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是()
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
答案 D
2.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)=.
答案 0.14
3.(2017课标Ⅰ理,19,12分,中)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望.
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得x=116i=116xi=9.97,116i=116(xi?x)2=116(i=116xi2?16x2)s116i=116(xi?x)2=116(i=116xi2?16x2)=≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^?3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ80)=P(ξ≥77)-P(77≤ξ≤80)=0.5-0.3=0.2,
1000×0.2=200,
所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200.
(2)由(1)知,事件“对‘数博会’的关注度较高”的概率为P=15,
X的可能取值为0,1,2,3,易知X~B3,15,
则P(X=0)=C301501?153=64125,
P(X=1)=C311511?152=48125,
P(X=2)=C321521?151=12125,
P(X=3)=C331531?150=1125,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125
X的数学期望为E(X)=3×15=35.
能力拔高练
1.(2025届湖北新高考协作体开学考,8)小明有一枚质地不均匀的骰子,每次掷出后出现1点的概率为p(06
B.E(X)<6
C.E(X)=6
D.E(X)与6的大小无法确定
答案 B
2.(2024辽宁省三所重点中学第三次模拟,19)某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临灭绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P,统计其中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次,记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i=1,2,…,20).设该区域中A种的数目为M,B种的数目为N(M,N均大于100),每一次试验均相...
高考新风向·回顾教材思维引导回归本质
(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分,中)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z2)>0.2 B.P(X>2)2)>0.5 D.P(Y>2)0;
当p∈(0.1,1)时,f'(p)400,故应该对这箱余下的所有产品作检验.
3.(2020北京,18,14分,中)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;
(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;
(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)
解析(1)设“该校男生支持方案一”为事件A,“该校女生支持方案一”为事件B.
依题意知,抽取的样本中共有男生600人,其中支持方案一的有200人,
故P(A)=200600=13;抽取的样本中共有女生400人,其中支持方案一的有300人,
故P(B)=300400=34.
(2)由(1)可知,“该校男生支持方案一”的概率估计值为13;“该校女生支持方案一”的概率估计值为34.
设“抽取的该校2个男生和1个女生中,支持方案一的恰有2人”为事件C,该事件包括“2个男生均支持方案一而女生不支持方案一”“2个男生中有且只有1人支持方案一且女生支持方案一”,故所求概率为
P(C)=132×1?34+C21×13×1?13×34=1336.
(3)p180160=12,
则p2>p0,故可知该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即p13.841,
∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
考点3正态分布
1.(2021新高考Ⅱ,6,5分,易)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是()
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
答案 D
2.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)=.
答案 0.14
3.(2017课标Ⅰ理,19,12分,中)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望.
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得x=116i=116xi=9.97,116i=116(xi?x)2=116(i=116xi2?16x2)s116i=116(xi?x)2=116(i=116xi2?16x2)=≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^?3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ80)=P(ξ≥77)-P(77≤ξ≤80)=0.5-0.3=0.2,
1000×0.2=200,
所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200.
(2)由(1)知,事件“对‘数博会’的关注度较高”的概率为P=15,
X的可能取值为0,1,2,3,易知X~B3,15,
则P(X=0)=C301501?153=64125,
P(X=1)=C311511?152=48125,
P(X=2)=C321521?151=12125,
P(X=3)=C331531?150=1125,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125
X的数学期望为E(X)=3×15=35.
能力拔高练
1.(2025届湖北新高考协作体开学考,8)小明有一枚质地不均匀的骰子,每次掷出后出现1点的概率为p(06
B.E(X)<6
C.E(X)=6
D.E(X)与6的大小无法确定
答案 B
2.(2024辽宁省三所重点中学第三次模拟,19)某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临灭绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P,统计其中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次,记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i=1,2,…,20).设该区域中A种的数目为M,B种的数目为N(M,N均大于100),每一次试验均相...
