2.3函数的奇偶性、周期性和对称性

五年高考

考点1函数的奇偶性

1.(2024天津,4,5分,易)下列函数是偶函数的为()

A.y=ex?x2ex+x2 B.y=cosx?x2x2+1

C.y=ex?xex+x D.y=sinx?xx2+1

答案 B

2.(2023全国乙理,4,5分,易)已知f(x)=xexeax?1是偶函数,则a=()

A.-2 B.-1 C.1 D.2

答案 D

3.(2023新课标Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln2x?12x+1为偶函数,则a=()

A.-1 B.0 C.12 D.1

答案 B

4.(2021全国乙理,4,5分,易)设函数f(x)=1?x1+x,则下列函数中为奇函数的是()

A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1

答案 B

5.(2021新高考Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则()

A.f?12=0 B.f(-1)=0

C.f(2)=0 D.f(4)=0

答案 B

6.(多选)(2023新课标Ⅰ,11,5分,难)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则()

A.f(0)=0

B.f(1)=0

C.f(x)是偶函数

D.x=0为f(x)的极小值点

答案 ABC

7.(2023全国甲,文14,理13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2为偶函数,则a=.

答案 2

8.(2021新高考Ⅰ,13,5分,易)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=.

答案 1

考点2函数的周期性

1.(2021全国甲文,12,5分,中)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f?13=13,则f53=()

A.-53 B.?13 C.13 D.53

答案 C

2.(2021全国甲理,12,5分,难)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=()

A.-94 B.?32 C.74 D.52

答案 D

3.(2022新高考Ⅱ,8,5分,难)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则k=122f(k)=()

A.-3 B.-2 C.0 D.1

答案 A

考点3函数的对称性

(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分,难)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=

f'(x).若f32?2x,g(2+x)均为偶函数,则()

A.f(0)=0 B.g?12=0

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

答案 BC

三年模拟

基础强化练

1.(2025届上海大学附中开学考,13)在下列函数中,值域为R的偶函数是()

A.y=x13 B.y=lg|x|

C.y=ex+e-x D.y=x3cosx

答案 B

2.(2025届广东八校联考,4)已知函数f(x)=sinx(x2+2x)(x+a)为偶函数,则a=()

A.-2 B.-1 C.0 D.2

答案 A

3.(2025届重庆八中月考,5)下列函数的图象不存在对称中心的是()

A.y=x3+1 B.y=x2?2x+2x?1

C.y=ex?1ex+1 D.y=x+1x

答案 D

4.(2025届云南昆明摸底测试,6)函数f(x)=ln(x2+1+kx)是奇函数且在R上单调递增,则k的取值集合为()

A.{-1} B.{0}

C.{1} D.{-1,1}

答案 C

5.(2025届大湾区第一次调研,6)已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)=f(5),函数f(ax-1)的图象关于直线x=2对称,则a=()

A.1 B.2 C.3 D.4

答案 B

6.(2025届江苏连云港第一次检测,7)已知函数f(2x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,且当x∈(0,1]时,f(x)=log2x,则f322=()

A.2 B.-2 C.1 D.-1

答案 A

7.(多选)(2025届江西吉安月考,9)下列函数为奇函数的是()

A.f(x)=ex+e?xex?e?x

B.h(x)=lgx?1x+1

C.g(x)=-12x+2

D.m(x)=ln(x2+1+x)

答案 ABD



8.(多选)(2024江苏南京二模,10)已知函数f(x)满足f(x)f(y)=f(xy)+|x|+|y|,则()

A.f(0)=1 B.f(1)=-1

C.f(x)是偶函数 D.f(x)是奇函数

答案 AC

9.(2025届四川泸州月考,13)已知函数f(x)=2022x3+2x2+3x+6x2+3,且f(a)=14,则f(-a)的值为.

答案 -10

10.(2025届重庆南开中学月考,13)已知函数f(x)=sinx2cosx?3+1(-2025≤x≤2025)的值域为[m,M],则M+m=.

答案 2

11.(2025届黑龙江龙东十校开学考,15)已知函数f(2x)=4x2+12x+4x?14x+1.

(1)求f(x)的解析式;

(2)判断函数g(x)=|f(x)|的奇偶性,并说明理由;

(3)求f(1)+f(log32)+f(log30.5)的值.

解析(1)因为f(2x)=(2x)2+12x+22x?122x+1,

所以f(x)=x2+1x+2x?12x+1.

(2)g(x)是偶函数.理由如下:函数g(x)=|f(x)|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=(?x)2+1?x+2?x?12?x+1=?x2+1x+1?2x1+2x=-f(x),

因此g(-x)=|f(-x)|=|-f(x)|=g(x),即g(x)为偶函数.

(3)log30.5=-log32,由(2)可得f(x)是奇函数,

因此f(log32)+f(log30.5)=f(log32)+f(-log32)=0,

所以f(1)+f(log32)+f(log30.5)=f(1)=73.

能力拔高练

1.(2024广东深圳罗湖开学模考,4)已知函数f(x)=ln(eax+1)x?32为奇函数,则a=()

A.12 B.2 C.13 D.3

答案 D

2.(2024重庆七校开学考,3)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=3x-1,则f(2022)+f(2023)=()

A.-2023 B.-1

C.1 D.32022

答案 B

3.(2025届重庆南开中学质检,5)在同一直角坐标系内,存在一条直线l,使得函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线l对称,就称函数y=g(x)是函数y=f(x)的“轴对称函数”.已知函数f(x)=ex(e是自然对数的底数),则下列函数不是函数y=f(x)的“轴对称函数”的是()

A.y=2-ex B.y=e2-x

C.y=-e-x D.y=lnx

答案 C

4.(2025届江苏如东开学考,6)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=ex,则2f(x)+4g(x)的最小值是()

A.2 B.23

C.4 D.25

答案 B

5.(2025届湖南长沙联考,7)已知函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),满足f(x+2)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),若f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=()

A.-100 B.-3

C.3 D.2025

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