2.8函数的零点与方程的根

高考新风向·回顾教材思维引导回归本质

(2024新课标Ⅱ,6,5分,中)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax.当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则a=()



A.-1 B.12 C.1 D.2

创新点本题看似是方程的解(函数零点)问题,通过恒等变形分离变量得a=cosx+1x2+1,进一步运用函数知识求解.但其本质是函数奇偶性和函数零点的关联,考查具有奇偶性函数零点的特征.

答案 D





五年高考

考点函数的零点

1.(2024新课标Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为()

A.18 B.14 C.12 D.1

答案 C

2.(2018课标Ⅰ理,9,5分,中)已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()

A.[-1,0) B.[0,+∞)

C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

答案 C

3.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分,中)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()

A.-12 B.13 C.12 D.1

答案 C

4.(2019天津文,8,5分,难)已知函数f(x)=2x,0≤x≤1,1x,x>1.若关于x的方程f(x)=-14x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为()

A.54,94

B.54,94

C.54,94∪{1}

D.54,94∪{1}

答案 D

5.(2021北京,15,5分,中)已知函数f(x)=|lgx|-kx-2,给出下列四个结论:

①当k=0时,f(x)恰有2个零点;

②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;

③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;

④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

答案①②④

6.(2022天津,15,5分,难)设a∈R,对任意实数x,用f(x)表示|x|-2,x2-ax+3a-5中的较小者.若函数f(x)至少有3个零点,则a的取值范围为.

答案[10,+∞)

三年模拟

基础强化练

1.(2024北京延庆一中月考,5)已知函数f(x)=12x?x13,那么在下列区间中含有零点的为()



A.0,13 B.13,12

C.12,1 D.(1,2)

答案 B

2.(2025届江西南昌期中联考,6)已知函数f(x)=|ln(x+1)|-k有两个零点a,b(ay,x2,x≤y,例如:2*3=22=4,3*2=3×2=6.若函数f(x)=x*(2-x)-k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是()

A.(0,1) B.(1,+∞)

C.(0,+∞) D.(-∞,0)

答案 A

4.(2024广东潮州第四次测试,7)已知函数f(x)=x2?8x+8,x≥0,2x+4,x0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是()

A.0,12 B.12,1

C.(0,1) D.(1,+∞)

答案 A

6.(多选)(2025届重庆八中期中,9)已知函数f(x)=x2?kx+1,x≤0,log2x,x>0,下列关于函数y=f(f(x))+2的零点个数的说法中,正确的是()

A.当01时,有1个零点

C.当k0,若x10,g(x)=|x(x-2)|,若方程f(g(x))+g(x)-a=0的所有实根之和为4,则实数a的取值范围是()

A.(1,+∞) B.[1,+∞)

C.(-∞,1) D.(-∞,1]

答案 C

4.(多选)(2025届河北名校联盟联考,10)已知函数f(x)=ex+2x-2,g(x)=2lnx+x-2的零点分别为x1,x2,则()

A.2x1+x2=2

B.x1x2=ex1+lnx2

C.x1+x2>43

D.2x1x21 D.x3+f(x2)>1

答案 ABD

6.(2025届湖北黄冈中学月考,14)设a、b分别是方程log2x+x+2=0与2x+x+2=0的根,则a+b=.

答案 -2

7.(2025届江西九校期中联考,14)已知函数f(x)=x2+2x+3,x≤0,lnx,x>0,若存在实数x1,x2,x3且x12017)上有m个交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(x1+y1)+(x2+y2)+…+(xm+ym)=()

A.0 B.m

C.2m D.2017

答案 B