3 1 导数的概念及运算——2026版53高考总复习精练册word 人教版
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文件简介::
专题三导数及其应用
3.1导数的概念及运算
五年高考
考点导数的运算及几何意义
1.(2024全国甲理,6,5分,易)设函数f(x)=ex+2sinx1+x2,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()
A.16 B.13 C.12 D.23
答案 A
2.(2021新高考Ⅰ,7,5分,中)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则()
A.eb0,函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则|AM||BN|的取值范围是.
答案(0,1)
8.(2022全国甲文,20,12分,中)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.
(1)若x1=-1,求a;
(2)求a的取值范围.
解析(1)由题意知,f(-1)=-1-(-1)=0,f'(x)=3x2-1,则f'(-1)=3-1=2,
则曲线y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2(x+1),
即y=2x+2,
设该切线与曲线y=g(x)切于点(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x,
则g'(x2)=2x2=2,解得x2=1,则g(1)=1+a=2+2,解得a=3.
(2)f'(x)=3x2-1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)·(x-x1),整理得y=(3x12-1)x-2x13,
设该切线与曲线y=g(x)切于点(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x,则g'(x2)=2x2,则切线方程为y-(x22+a)=2x2(x-x2),整理得y=2x2x-x22+a,
则3x12?1=2x2,?2x13=?x22+a,整理得a=x22?2x13=3x122?122?2x13=94x14?2x13?32x12+14,
令h(x)=94x4?2x3?32x2+14,则h'(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)·(x-1),令h'(x)>0,解得-131,
令h'(x)0的解集为()
A.(1,6) B.(1,4)
C.(-∞,1)∪(6,+∞) D.(1,4)∪(6,+∞)
答案 D
4.(2025届北京师范大学第二附属中学开学考,3)已知f(x)=-xx?2,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程是()
A.2x-y+1=0 B.x-2y+2=0
C.2x-y-1=0 D.x+2y-2=0
答案 C
5.(2023江苏无锡中学测试,3)已知函数f(x)与g(x)的部分图象如图所示,则()
A.g'(-1)g'(3)
答案 B
6.(2024广东佛山顺德教学质检一,3)已知函数f(x)=12ax2+bx+1(a≠0)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线l:x+y-1=0垂直,则ab的最大值为()
A.1 B.12 C.14 D.?14
答案 C
7.(2024河北邢台部分高中二模,5)已知函数f(x)=x2+2lnx的图象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,则下面等式可能成立的是()
A.x1+x2=2 B.x1+x2=103
C.x1x2=2 D.x1x2=103
答案 B
8.(多选)(2024山东潍坊期中,9)下列函数的导数运算正确的是()
A.(xex)'=ex+xex B.(x+1)'=12x+1
C.sinxcosx'=?1cos2x D.[lg(2x)]'=1xln10
答案 ABD
9.(多选)(2024山东菏泽模拟,9)若曲线f(x)=xsinx-1在x=π处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则()
A.f'(x)=sinx-xcosx
B.f'(x)=sinx+xcosx
C.f'(π)=-π
D.a=-2π
答案 BCD
10.(2025届江苏南京玄武高中开学考试,13)已知函数f(x)=ex-2,g(x)=ex+1-1,若直线y=kx+b是曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线,则k=.
答案13
11.(2025届江苏南通模拟,13)已知函数f(x)=x2+2x和g(x)=-x2+a,如果直线l同时是曲线f(x)和g(x)的切线,称l是曲线f(x)和g(x)的公切线,若曲线f(x)和g(x)有且仅有一条公切线,则a=.
答案 -12
能力拔高练
1.(2024江西联考期中,6)若函数f(x)=cosωx+aln|x|+bx2+c满足f'π2=2π,则f'?π2=()
A.2π B.?2π C.π2 D.?π2
答案 B
2.(2025届重庆巴蜀中学月考,6)曲线f(x)=sinx-cosx,x∈?π2,π2的所有切线中,斜率最小的切线方程是()
A.2x+y+2π2+1=0 B.2x+y+2π2-1=0
C.x+y+π2?1=0 D.x+y+π2+1=0
答案 D
3.(2025届江苏盐城射阳中学开学考,6)函数f(x)=1+lnx与g(x)=ex-1图象的公切线的纵截距为()
A.1或0 B.-1或0 C.1或e D.-1或e
答案 B
4.(2025届湖北武汉开学考试,6)若曲线y=ln(x+2a)的一条切线为y=ex-2b(e为自然对数的底数),其中a,b为正实数,则1ea+1b的取值范围是()
A.[2,e) B.(e,4]
C.[4,+∞) D.[e,+∞)
答案 C
5.(多选)(2024浙江台州期末,10)关于函数f(x)=x3的图象的切线,下列说法正确的是()
A.在点A(1,1)处的切线方程为y=3x-2
B.经过点A(1,1)的切线方程为y=3x-2
C.切线l:y=kx+b(k≠0)与y=f(x)的图象必有两个公共点
D.在点P(x1,x13)处的切线过点Q(x0,x03)(x0≠x1),则x0=-2x1
答案 ACD
6.(2025届湖北开学考,13)M、N分别为曲线y=ex+2x与直线y=3x-1上的点,则|MN|的最小值为.
答案105
7.(2025届江苏淮安十校联考,14)函数y=kx,k>0的图象与y=lnx和y=ex的图象分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,设曲线y=lnx在A处的切线l1的倾斜角为α,曲线y=ex在B处的切线l2的倾斜角为β,若β=2α,则k=.
答案3ln3
创新风向练
1.(创新考法)(2024江苏南通一中月考,6)牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点r,取初始值x0,f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线与x轴的交点的横坐标为x1,f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线与x轴的交点的横坐标为x2,一直继续下去,得到x1,x2,…,xn,它们越来越接近r.设函数f(x)=x2+bx,x0=2,用牛顿迭代法得到x1=1619,则实数b=()
A.1 B.12 C.23 D.34
答案 D
2.(创新知识交汇)(2025届安徽部分学校联考,14)在平面直角坐标系xOy中,M为曲线y=lnxx上一点且位于第一象限,将线段OM绕x轴旋转一周,得到一个圆锥的侧面,再将其展开成扇形,则该扇形的圆心角的最大值为.
答案2π4e2+14e2+1
3.1导数的概念及运算
五年高考
考点导数的运算及几何意义
1.(2024全国甲理,6,5分,易)设函数f(x)=ex+2sinx1+x2,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()
A.16 B.13 C.12 D.23
答案 A
2.(2021新高考Ⅰ,7,5分,中)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则()
A.eb0,函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则|AM||BN|的取值范围是.
答案(0,1)
8.(2022全国甲文,20,12分,中)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.
(1)若x1=-1,求a;
(2)求a的取值范围.
解析(1)由题意知,f(-1)=-1-(-1)=0,f'(x)=3x2-1,则f'(-1)=3-1=2,
则曲线y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2(x+1),
即y=2x+2,
设该切线与曲线y=g(x)切于点(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x,
则g'(x2)=2x2=2,解得x2=1,则g(1)=1+a=2+2,解得a=3.
(2)f'(x)=3x2-1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)·(x-x1),整理得y=(3x12-1)x-2x13,
设该切线与曲线y=g(x)切于点(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x,则g'(x2)=2x2,则切线方程为y-(x22+a)=2x2(x-x2),整理得y=2x2x-x22+a,
则3x12?1=2x2,?2x13=?x22+a,整理得a=x22?2x13=3x122?122?2x13=94x14?2x13?32x12+14,
令h(x)=94x4?2x3?32x2+14,则h'(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)·(x-1),令h'(x)>0,解得-131,
令h'(x)0的解集为()
A.(1,6) B.(1,4)
C.(-∞,1)∪(6,+∞) D.(1,4)∪(6,+∞)
答案 D
4.(2025届北京师范大学第二附属中学开学考,3)已知f(x)=-xx?2,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程是()
A.2x-y+1=0 B.x-2y+2=0
C.2x-y-1=0 D.x+2y-2=0
答案 C
5.(2023江苏无锡中学测试,3)已知函数f(x)与g(x)的部分图象如图所示,则()
A.g'(-1)g'(3)
答案 B
6.(2024广东佛山顺德教学质检一,3)已知函数f(x)=12ax2+bx+1(a≠0)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线l:x+y-1=0垂直,则ab的最大值为()
A.1 B.12 C.14 D.?14
答案 C
7.(2024河北邢台部分高中二模,5)已知函数f(x)=x2+2lnx的图象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,则下面等式可能成立的是()
A.x1+x2=2 B.x1+x2=103
C.x1x2=2 D.x1x2=103
答案 B
8.(多选)(2024山东潍坊期中,9)下列函数的导数运算正确的是()
A.(xex)'=ex+xex B.(x+1)'=12x+1
C.sinxcosx'=?1cos2x D.[lg(2x)]'=1xln10
答案 ABD
9.(多选)(2024山东菏泽模拟,9)若曲线f(x)=xsinx-1在x=π处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则()
A.f'(x)=sinx-xcosx
B.f'(x)=sinx+xcosx
C.f'(π)=-π
D.a=-2π
答案 BCD
10.(2025届江苏南京玄武高中开学考试,13)已知函数f(x)=ex-2,g(x)=ex+1-1,若直线y=kx+b是曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线,则k=.
答案13
11.(2025届江苏南通模拟,13)已知函数f(x)=x2+2x和g(x)=-x2+a,如果直线l同时是曲线f(x)和g(x)的切线,称l是曲线f(x)和g(x)的公切线,若曲线f(x)和g(x)有且仅有一条公切线,则a=.
答案 -12
能力拔高练
1.(2024江西联考期中,6)若函数f(x)=cosωx+aln|x|+bx2+c满足f'π2=2π,则f'?π2=()
A.2π B.?2π C.π2 D.?π2
答案 B
2.(2025届重庆巴蜀中学月考,6)曲线f(x)=sinx-cosx,x∈?π2,π2的所有切线中,斜率最小的切线方程是()
A.2x+y+2π2+1=0 B.2x+y+2π2-1=0
C.x+y+π2?1=0 D.x+y+π2+1=0
答案 D
3.(2025届江苏盐城射阳中学开学考,6)函数f(x)=1+lnx与g(x)=ex-1图象的公切线的纵截距为()
A.1或0 B.-1或0 C.1或e D.-1或e
答案 B
4.(2025届湖北武汉开学考试,6)若曲线y=ln(x+2a)的一条切线为y=ex-2b(e为自然对数的底数),其中a,b为正实数,则1ea+1b的取值范围是()
A.[2,e) B.(e,4]
C.[4,+∞) D.[e,+∞)
答案 C
5.(多选)(2024浙江台州期末,10)关于函数f(x)=x3的图象的切线,下列说法正确的是()
A.在点A(1,1)处的切线方程为y=3x-2
B.经过点A(1,1)的切线方程为y=3x-2
C.切线l:y=kx+b(k≠0)与y=f(x)的图象必有两个公共点
D.在点P(x1,x13)处的切线过点Q(x0,x03)(x0≠x1),则x0=-2x1
答案 ACD
6.(2025届湖北开学考,13)M、N分别为曲线y=ex+2x与直线y=3x-1上的点,则|MN|的最小值为.
答案105
7.(2025届江苏淮安十校联考,14)函数y=kx,k>0的图象与y=lnx和y=ex的图象分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,设曲线y=lnx在A处的切线l1的倾斜角为α,曲线y=ex在B处的切线l2的倾斜角为β,若β=2α,则k=.
答案3ln3
创新风向练
1.(创新考法)(2024江苏南通一中月考,6)牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点r,取初始值x0,f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线与x轴的交点的横坐标为x1,f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线与x轴的交点的横坐标为x2,一直继续下去,得到x1,x2,…,xn,它们越来越接近r.设函数f(x)=x2+bx,x0=2,用牛顿迭代法得到x1=1619,则实数b=()
A.1 B.12 C.23 D.34
答案 D
2.(创新知识交汇)(2025届安徽部分学校联考,14)在平面直角坐标系xOy中,M为曲线y=lnxx上一点且位于第一象限,将线段OM绕x轴旋转一周,得到一个圆锥的侧面,再将其展开成扇形,则该扇形的圆心角的最大值为.
答案2π4e2+14e2+1
