3 2 导数与函数的单调性 极值和最值——2026版53高考总复习精练册word 人教版
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3.2导数与函数的单调性、极值和最值
五年高考
考点1导数与函数的单调性
1.(2023新课标Ⅱ,6,5分,中)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为()
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
答案 C
2.(2021全国乙理,12,5分,难)设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=1.04-1,则()
A.a0时,f(x)>2lna+32.
解析(1)由已知得函数f(x)的定义域为R,
f'(x)=aex-1.
①当a≤0时,f'(x)0时,令f'(x)=0,则x=ln1a,
当xln1a时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上所述,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;
当a>0时,f(x)在?∞,ln1a上单调递减,在ln1a,+∞上单调递增.
(2)证明:由(1)知,当a>0时,f(x)在?∞,ln1a上单调递减,在ln1a,+∞上单调递增,则f(x)min=fln1a=a1a+a?ln1a=1+a2+lna.
要证明f(x)>2lna+32,只需证明1+a2+lna>2lna+32,
即证a2-lna-12>0.
令g(x)=x2-lnx-12(x>0),则g'(x)=2x-1x=2x2?1x.
当022时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴g(x)min=g22=12?ln22?12=?ln22=ln2>0,
∴g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
即a2-lna-12>0,∴f(x)>2lna+32.
4.(2023全国甲文,20,12分,中)已知函数f(x)=ax-sinxcos2x,x∈0,π2.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)+sinx0,cos3x>0,
则g'(x)>0,所以函数g(x)在0,π2上单调递增,
g(0)=0,当x→π2时,g(x)→+∞,
因为f(x)+sinxax在0,π2上恒成立,
即直线y=ax在00,
故h'(x)在(0,+∞)上为增函数,
因此h'(x)>h'(0)=2a-1在(0,+∞)上恒成立.
①当2a-1≥0,即a≥12时,h'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
此时g'(x)在(0,+∞)上为增函数,又g'(0)=0,
∴g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故g(x)在(0,+∞)上为增函数,
因此g(x)>g(0)=0,即(ax+1)x≥(1+x)·ln(1+x)在(0,+∞)上恒成立,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当2a-1f(x)
答案 ACD
2.(多选)(2022新高考Ⅰ,10,5分,中)已知函数f(x)=x3-x+1,则()
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
答案 AC
3.(多选)(2023新课标Ⅱ,11,5分,中)若函数f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)既有极大值也有极小值,则()
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x10,得x>4或x0,故f(x)>0;
当x∈(4,+∞)时,3-2x0恒成立,f(x)单调递增,
无极值,不符合题意,故a≤0时不成立.
②当a>0时,令f'(x)=0,得x=lna,
当x∈(-∞,lna)时,f'(x)0,f(x)单调递增.
∴x=lna时f(x)有极小值,
极小值为f(lna)=elna-alna-a3
=a-alna-a3.
又∵极小值小于0,∴a-alna-a30,∴1-lna-a21.
综上所述,a的取值范围为(1,+∞).
8.(2023新课标Ⅱ,22,12分,难)
(1)证明:当00时,f'(x)=-asinax+2x1?x2,x∈(-1,1).
(i)当0?a2x+2x1?x2=x(a2x2+2?a2)1?x2,
因为a2x2>0,2-a2≥0,1-x2>0,所以f'(x)>0,
所以f(x)在(0,m)上单调递增,不合题意.
(ii)当a>2时,取x∈0,1a?(0,1),则ax∈(0,1),
由(1)可得f'(x)=-asinax+2x1?x20,h'1a=a3-a>0,且h'(x)的图象是开口向下的抛物线,所以?x∈0,1a,均有h'(x)>0,所以h(x)在0,1a上单调递增.
因为h(0)=2-a20,所以h(x)在0,1a内存在唯一的零点n.
当x∈(0,n)时,h(x)0,1-x2>0.
则f'(x)2.
当ae2,b>0,c>0,当x≥0时,(ex-ax)(x2-bx+c)≥0恒成立,则acb3的最小值为()
A.19 B.e327 C.e29 D.1
答案 B
4.(多选)(2025届山东泰安肥城开学考试,10)已知函数f(x)=aex-x+a2(a∈R),则()
A.当a≤0时,f(x)是R上的减函数
B.当a>0时,x=lna是f(x)的极小值点
C.当a=e时,f(x)取到最小值e2+2
D.当a>0时,f(x)>2lna+32恒成立
答案 ACD
5.(2025届安徽重点高中联盟校摸底考,13)已知函数f(x)=sinωx+π6,f'(x)为f(x)的导函数,f'(x)在0,π2上单调递减,则正实数ω的取值范围为.
答案0,53
6.(2025届河北唐山月考,14)已知函数f(x)=4sinx+2sin2x,则f(x)的最大值是.
答案 33
7.(2025届河北石家庄重点高中开学考,18)已知函数f(x)=12x2+(1-a)x-alnx(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值.
解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=x+1-a-ax=x2+(1?a)x?ax=(x+1)(x?a)x,
若a≤0,则f'(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增,
若a>0,则由f'(x)=0得x=a,当0a时,f'(x)>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.
综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间,
当a>0时,f(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞).
(2)由(1)知,当00,得a0,∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴f(x)在x=1处取到极小值f(1)=1,没有极大值.
(2)g'(x)=e2x-a-1-ex-1-aex-a+a
=(ex-a-1)(ex-1-a).
若a≤0,则ex-1-a>0,g'(a)=0,x∈(-∞,a)时,g'(x)0,g(x)单调递增.
若a=1,则g'(x)=(ex-1-1)2≥0,当且仅当x=1时取等号,
∴g(x)单调递增.
若a∈(0,1)∪(1,+∞),则a>lna+1,x∈(lna+1,a)时,g'(x)0,g(x)单调递增.
综上,若a≤0,则x∈(-∞,a)时,g(x)单调递减,x∈(a,+∞)时,g(x)单调递增;若a=1,则g(x)单调递增;若a∈(0,1)∪(1,+∞),则x∈(lna+1,a)时,g(x)单调递减;x∈(-∞,lna+1)和x∈(a,+∞)时,g(x)单调递增.
(3)由(2)知,只能是x1=lna+1,x2=a.由x2>x1>0有a>1e且a≠1,a∈1e,1时,x1,x2∈(0,1),由f(x)在(0,1)上单调递减可知f(x1)>f(x2);a∈(1,+∞)时,x1,x2>1,由f(x)在(1,+∞)上单调递增可知f(x1)f(x2);当a∈(1,+∞)时,f(x1)
五年高考
考点1导数与函数的单调性
1.(2023新课标Ⅱ,6,5分,中)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为()
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
答案 C
2.(2021全国乙理,12,5分,难)设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=1.04-1,则()
A.a0时,f(x)>2lna+32.
解析(1)由已知得函数f(x)的定义域为R,
f'(x)=aex-1.
①当a≤0时,f'(x)0时,令f'(x)=0,则x=ln1a,
当xln1a时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上所述,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;
当a>0时,f(x)在?∞,ln1a上单调递减,在ln1a,+∞上单调递增.
(2)证明:由(1)知,当a>0时,f(x)在?∞,ln1a上单调递减,在ln1a,+∞上单调递增,则f(x)min=fln1a=a1a+a?ln1a=1+a2+lna.
要证明f(x)>2lna+32,只需证明1+a2+lna>2lna+32,
即证a2-lna-12>0.
令g(x)=x2-lnx-12(x>0),则g'(x)=2x-1x=2x2?1x.
当022时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴g(x)min=g22=12?ln22?12=?ln22=ln2>0,
∴g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
即a2-lna-12>0,∴f(x)>2lna+32.
4.(2023全国甲文,20,12分,中)已知函数f(x)=ax-sinxcos2x,x∈0,π2.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)+sinx0,cos3x>0,
则g'(x)>0,所以函数g(x)在0,π2上单调递增,
g(0)=0,当x→π2时,g(x)→+∞,
因为f(x)+sinxax在0,π2上恒成立,
即直线y=ax在00,
故h'(x)在(0,+∞)上为增函数,
因此h'(x)>h'(0)=2a-1在(0,+∞)上恒成立.
①当2a-1≥0,即a≥12时,h'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
此时g'(x)在(0,+∞)上为增函数,又g'(0)=0,
∴g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故g(x)在(0,+∞)上为增函数,
因此g(x)>g(0)=0,即(ax+1)x≥(1+x)·ln(1+x)在(0,+∞)上恒成立,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当2a-1f(x)
答案 ACD
2.(多选)(2022新高考Ⅰ,10,5分,中)已知函数f(x)=x3-x+1,则()
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
答案 AC
3.(多选)(2023新课标Ⅱ,11,5分,中)若函数f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)既有极大值也有极小值,则()
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x10,得x>4或x0,故f(x)>0;
当x∈(4,+∞)时,3-2x0恒成立,f(x)单调递增,
无极值,不符合题意,故a≤0时不成立.
②当a>0时,令f'(x)=0,得x=lna,
当x∈(-∞,lna)时,f'(x)0,f(x)单调递增.
∴x=lna时f(x)有极小值,
极小值为f(lna)=elna-alna-a3
=a-alna-a3.
又∵极小值小于0,∴a-alna-a30,∴1-lna-a21.
综上所述,a的取值范围为(1,+∞).
8.(2023新课标Ⅱ,22,12分,难)
(1)证明:当00时,f'(x)=-asinax+2x1?x2,x∈(-1,1).
(i)当0?a2x+2x1?x2=x(a2x2+2?a2)1?x2,
因为a2x2>0,2-a2≥0,1-x2>0,所以f'(x)>0,
所以f(x)在(0,m)上单调递增,不合题意.
(ii)当a>2时,取x∈0,1a?(0,1),则ax∈(0,1),
由(1)可得f'(x)=-asinax+2x1?x20,h'1a=a3-a>0,且h'(x)的图象是开口向下的抛物线,所以?x∈0,1a,均有h'(x)>0,所以h(x)在0,1a上单调递增.
因为h(0)=2-a20,所以h(x)在0,1a内存在唯一的零点n.
当x∈(0,n)时,h(x)0,1-x2>0.
则f'(x)2.
当ae2,b>0,c>0,当x≥0时,(ex-ax)(x2-bx+c)≥0恒成立,则acb3的最小值为()
A.19 B.e327 C.e29 D.1
答案 B
4.(多选)(2025届山东泰安肥城开学考试,10)已知函数f(x)=aex-x+a2(a∈R),则()
A.当a≤0时,f(x)是R上的减函数
B.当a>0时,x=lna是f(x)的极小值点
C.当a=e时,f(x)取到最小值e2+2
D.当a>0时,f(x)>2lna+32恒成立
答案 ACD
5.(2025届安徽重点高中联盟校摸底考,13)已知函数f(x)=sinωx+π6,f'(x)为f(x)的导函数,f'(x)在0,π2上单调递减,则正实数ω的取值范围为.
答案0,53
6.(2025届河北唐山月考,14)已知函数f(x)=4sinx+2sin2x,则f(x)的最大值是.
答案 33
7.(2025届河北石家庄重点高中开学考,18)已知函数f(x)=12x2+(1-a)x-alnx(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值.
解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=x+1-a-ax=x2+(1?a)x?ax=(x+1)(x?a)x,
若a≤0,则f'(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增,
若a>0,则由f'(x)=0得x=a,当0a时,f'(x)>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.
综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间,
当a>0时,f(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞).
(2)由(1)知,当00,得a0,∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴f(x)在x=1处取到极小值f(1)=1,没有极大值.
(2)g'(x)=e2x-a-1-ex-1-aex-a+a
=(ex-a-1)(ex-1-a).
若a≤0,则ex-1-a>0,g'(a)=0,x∈(-∞,a)时,g'(x)0,g(x)单调递增.
若a=1,则g'(x)=(ex-1-1)2≥0,当且仅当x=1时取等号,
∴g(x)单调递增.
若a∈(0,1)∪(1,+∞),则a>lna+1,x∈(lna+1,a)时,g'(x)0,g(x)单调递增.
综上,若a≤0,则x∈(-∞,a)时,g(x)单调递减,x∈(a,+∞)时,g(x)单调递增;若a=1,则g(x)单调递增;若a∈(0,1)∪(1,+∞),则x∈(lna+1,a)时,g(x)单调递减;x∈(-∞,lna+1)和x∈(a,+∞)时,g(x)单调递增.
(3)由(2)知,只能是x1=lna+1,x2=a.由x2>x1>0有a>1e且a≠1,a∈1e,1时,x1,x2∈(0,1),由f(x)在(0,1)上单调递减可知f(x1)>f(x2);a∈(1,+∞)时,x1,x2>1,由f(x)在(1,+∞)上单调递增可知f(x1)f(x2);当a∈(1,+∞)时,f(x1)