4 4 解三角形——2026版53高考总复习精练册word 人教版
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4.4解三角形
五年高考
考点1正弦定理、余弦定理
(2023全国乙文,4,5分,易)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB-
bcosA=c,且C=π5,则B=()
A.π10 B.π5 C.3π10 D.2π5
答案 C
2.(2021全国甲文,8,5分,易)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=()
A.1 B.2 C.5 D.3
答案 D
3.(2020课标Ⅲ理,7,5分,易)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则cosB=()
A.19 B.13 C.12 D.23
答案 A
4.(2021全国乙文,15,5分,易)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.
答案 22
(2024新课标Ⅱ,15,13分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
sinA+3cosA=2.
(1)求A;
(2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC的周长.
解析(1)由已知得12sinA+32cosA=sinA+π3=1,因为00,则b=3t,c=2t,
∵A=π-B-C=5π12,
∴sinA=sinπ4+π6=6+24,
∵S△ABC=12bcsinA=12×3t×2t×6+24=3+3,
∴t=2,因此c=22.
7.(2023全国乙理,18,12分,中)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
(1)求sin∠ABC;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.
解析(1)在△ABC中,由余弦定理,得BC2=22+12-2×2×1×cos120°=7,则BC=7.(3分)
由正弦定理,得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC,
则sin∠ABC=AC·sin∠BACBC=1×sin120°7=2114.(6分)
(2)在Rt△ABD中,由(1)知sin∠ABD=2114,且∠ABD为锐角,所以tan∠ABD=35.
在Rt△ABD中,AB=2,则AD=AB·tan∠ABD=2×35=235.(9分)
在△ADC中,∠DAC=30°,AC=1,
∴△ADC的面积S=12×235×1×sin30°=310.(12分)
8.(2021新高考Ⅰ,19,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BD·sin∠ABC=asinC.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
解析(1)证明:由题设得BD=asinCsin∠ABC,
在△ABC中,由正弦定理知csinC=bsin∠ABC,
即sinCsin∠ABC=cb,
代入BD=asinCsin∠ABC中,得BD=acb,又b2=ac,
∴BD=b.(4分)
(2)由AD=2DC得AD=23b,DC=b3,
在△ABD中,cosA=AD2+AB2?BD22AD·AB=49b2+c2?b22×23bc=c2?59b243bc,
在△ABC中,cosA=AC2+AB2?BC22AC·AB=b2+c2?a22bc.
故c2?59b243bc=b2+c2?a22bc,化简得3c2-11b2+6a2=0,
又b2=ac,(7分)
所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0,
所以c=3a或c=23a.(8分)
当c=3a时,b2=ac=3a2,所以b=3a,此时a+b0恒成立,∴C∈π2,π,
∵-cosC=sinC?π2,
∴C-π2=B或B+C?π2=π(不合题意,舍去),(5分)
∴A=π2-2B,∵A>0,∴B∈0,π4,(6分)
∴a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22B+sin2Bcos2B
=(2cos2B?1)2+(1?cos2B)cos2B,(8分)
令cos2B=t,t∈12,1,
∴a2+b2c2=(2t?1)2+(1?t)t=4t+2t?5≥42-5,当且仅当4t=2t,即t=22时,取“=”(扣分点:不写扣1分).(11分)
∴a2+b2c2的最小值为42-5.(12分)
8.(2021新高考Ⅱ,18,12分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2.
(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.
解析(1)2sinC=3sinA?2c=3a,
又∵c=a+2,
∴2(a+2)=3a,∴a=4,
∴b=a+1=5,c=a+2=6,
∴cosA=b2+c2?a22bc=52+62?422×5×6=34,∴sinA=1?cos2A=74,
∴S△ABC=12bcsinA=12×5×6×74=1574.(6分)
(2)由已知得c>b>a,
若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,
∴cosC=a2+b2?c22ab0,∴a∈(0,3).(9分)
同时还应考虑构成△ABC的条件,
即a+b>c?a+(a+1)>a+2?a>1.
综上所述,当a∈(1,3)时,△ABC为钝角三角形.
∴存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形.(12分)
9.(2020新高考Ⅰ,17,10分,易)在①ac=3,②csinA=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解析方案一:选条件①.
由C=π6和余弦定理得a2+b2?c22ab=32.
由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.
于是3b2+b2?c223b2=32,由此可得b=c.(6分)
由①ac=3,解得a=3,b=c=1.
因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.(10分)
方案二:选条件②.
由C=π6和余弦定理得a2+b2?c22ab=32.
由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.
于是3b2+b2?c223b2=32,
由此可得b=c,B=C=π6,A=2π3.(6分)
由②csinA=3,所以c=b=23,a=6.
因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=23.(10分)
方案三:选条件③.
由C=π6和余弦定理得a2+b2?c22ab=32.
由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.
于是3b2+b2?c223b2=32,由此可得b=c.(6分)
由③c=3b,与b=c矛盾.
因此,选条件③时问题中的三角形不存在.(10分)
三年模拟
基础强化练
1.(2025届江苏盐城四校联考,5)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,(sinA-sinB)(b+a)=c(sinB+sinC),则△ABC面积的最大值为()
A.14 B.12 C.34 D.32
答案 C
2.(2024河北保定十校三模,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,b=2a,则()
A.△ABC为直角三角形
B.△ABC为锐角三角形
C.△ABC为钝角三角形
D.△ABC的形状无法确定
答案 A
3.(2025届浙江金华开学考,4)古代数学家刘徽编撰的《海岛算经》是中国最早的一部测量学著作,也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《海岛算经》测量一个球体建筑物的高度,已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同...
五年高考
考点1正弦定理、余弦定理
(2023全国乙文,4,5分,易)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB-
bcosA=c,且C=π5,则B=()
A.π10 B.π5 C.3π10 D.2π5
答案 C
2.(2021全国甲文,8,5分,易)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=()
A.1 B.2 C.5 D.3
答案 D
3.(2020课标Ⅲ理,7,5分,易)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则cosB=()
A.19 B.13 C.12 D.23
答案 A
4.(2021全国乙文,15,5分,易)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.
答案 22
(2024新课标Ⅱ,15,13分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
sinA+3cosA=2.
(1)求A;
(2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC的周长.
解析(1)由已知得12sinA+32cosA=sinA+π3=1,因为00,则b=3t,c=2t,
∵A=π-B-C=5π12,
∴sinA=sinπ4+π6=6+24,
∵S△ABC=12bcsinA=12×3t×2t×6+24=3+3,
∴t=2,因此c=22.
7.(2023全国乙理,18,12分,中)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
(1)求sin∠ABC;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.
解析(1)在△ABC中,由余弦定理,得BC2=22+12-2×2×1×cos120°=7,则BC=7.(3分)
由正弦定理,得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC,
则sin∠ABC=AC·sin∠BACBC=1×sin120°7=2114.(6分)
(2)在Rt△ABD中,由(1)知sin∠ABD=2114,且∠ABD为锐角,所以tan∠ABD=35.
在Rt△ABD中,AB=2,则AD=AB·tan∠ABD=2×35=235.(9分)
在△ADC中,∠DAC=30°,AC=1,
∴△ADC的面积S=12×235×1×sin30°=310.(12分)
8.(2021新高考Ⅰ,19,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BD·sin∠ABC=asinC.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
解析(1)证明:由题设得BD=asinCsin∠ABC,
在△ABC中,由正弦定理知csinC=bsin∠ABC,
即sinCsin∠ABC=cb,
代入BD=asinCsin∠ABC中,得BD=acb,又b2=ac,
∴BD=b.(4分)
(2)由AD=2DC得AD=23b,DC=b3,
在△ABD中,cosA=AD2+AB2?BD22AD·AB=49b2+c2?b22×23bc=c2?59b243bc,
在△ABC中,cosA=AC2+AB2?BC22AC·AB=b2+c2?a22bc.
故c2?59b243bc=b2+c2?a22bc,化简得3c2-11b2+6a2=0,
又b2=ac,(7分)
所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0,
所以c=3a或c=23a.(8分)
当c=3a时,b2=ac=3a2,所以b=3a,此时a+b0恒成立,∴C∈π2,π,
∵-cosC=sinC?π2,
∴C-π2=B或B+C?π2=π(不合题意,舍去),(5分)
∴A=π2-2B,∵A>0,∴B∈0,π4,(6分)
∴a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22B+sin2Bcos2B
=(2cos2B?1)2+(1?cos2B)cos2B,(8分)
令cos2B=t,t∈12,1,
∴a2+b2c2=(2t?1)2+(1?t)t=4t+2t?5≥42-5,当且仅当4t=2t,即t=22时,取“=”(扣分点:不写扣1分).(11分)
∴a2+b2c2的最小值为42-5.(12分)
8.(2021新高考Ⅱ,18,12分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2.
(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.
解析(1)2sinC=3sinA?2c=3a,
又∵c=a+2,
∴2(a+2)=3a,∴a=4,
∴b=a+1=5,c=a+2=6,
∴cosA=b2+c2?a22bc=52+62?422×5×6=34,∴sinA=1?cos2A=74,
∴S△ABC=12bcsinA=12×5×6×74=1574.(6分)
(2)由已知得c>b>a,
若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,
∴cosC=a2+b2?c22ab0,∴a∈(0,3).(9分)
同时还应考虑构成△ABC的条件,
即a+b>c?a+(a+1)>a+2?a>1.
综上所述,当a∈(1,3)时,△ABC为钝角三角形.
∴存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形.(12分)
9.(2020新高考Ⅰ,17,10分,易)在①ac=3,②csinA=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解析方案一:选条件①.
由C=π6和余弦定理得a2+b2?c22ab=32.
由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.
于是3b2+b2?c223b2=32,由此可得b=c.(6分)
由①ac=3,解得a=3,b=c=1.
因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.(10分)
方案二:选条件②.
由C=π6和余弦定理得a2+b2?c22ab=32.
由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.
于是3b2+b2?c223b2=32,
由此可得b=c,B=C=π6,A=2π3.(6分)
由②csinA=3,所以c=b=23,a=6.
因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=23.(10分)
方案三:选条件③.
由C=π6和余弦定理得a2+b2?c22ab=32.
由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.
于是3b2+b2?c223b2=32,由此可得b=c.(6分)
由③c=3b,与b=c矛盾.
因此,选条件③时问题中的三角形不存在.(10分)
三年模拟
基础强化练
1.(2025届江苏盐城四校联考,5)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,(sinA-sinB)(b+a)=c(sinB+sinC),则△ABC面积的最大值为()
A.14 B.12 C.34 D.32
答案 C
2.(2024河北保定十校三模,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,b=2a,则()
A.△ABC为直角三角形
B.△ABC为锐角三角形
C.△ABC为钝角三角形
D.△ABC的形状无法确定
答案 A
3.(2025届浙江金华开学考,4)古代数学家刘徽编撰的《海岛算经》是中国最早的一部测量学著作,也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《海岛算经》测量一个球体建筑物的高度,已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同...
