5 1 平面向量的概念及线性运算 基本定理及坐标表示——2026版53高考总复习精练册word 人教版
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文件简介::
专题五平面向量与复数
5.1平面向量的概念及线性运算、基本定理及坐标表示
五年高考
考点1平面向量的概念及线性运算
1.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=()
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
答案 B
2.(2020新高考Ⅱ,3,5分,易)若D为△ABC的边AB的中点,则CB=()
A.2CD?CA B.2CA?CD
C.2CD+CA D.2CA+CD
答案 A
3.(2017课标Ⅱ文,4,5分,易)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()
A.a⊥b
B.|a|=|b|
C.a∥b
D.|a|>|b|
答案 A
4.(2015课标Ⅰ理,7,5分,易)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则()
A.AD=?13AB+43AC
B.AD=13AB?43AC
C.AD=43AB+13AC
D.AD=43AB?13AC
答案 A
考点2平面向量基本定理及坐标表示
1.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=()
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D
2.(2014福建,8,5分,易)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()
A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
答案 B
3.(2021全国乙文,13,5分,易)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=.
答案85
4.(2013北京理,13,5分,易)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ=.
答案 4
5.(2020江苏,13,5分,中)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若PA=mPB+32?mPC(m为常数),则CD的长度是.
答案185或0
三年模拟
基础强化练
1.(2025届安徽A10联盟摸底,2)在△ABC中,CD=2DB,AE=ED,则CE=()
A.16AB?13AC B.16AB?23AC
C.13AB?56AC D.13AB?13AC
答案 C
2.(2024天津第五十五中学阶段测试,4)下列各式中不能化简为AD的是()
A.-(CB+MC)-(DA+BM)
B.-BM?DA+MB
C.(AB?DC)-CB
D.AD-(CD+DC)
答案 B
3.(2025届浙江9+1高中联盟期中,4)在△ABC中,D是BC上一点,满足BD=2DC,M是AD的中点,若BM=λBA+μBC,则λ+μ=()
A.54 B.78 C.56 D.58
答案 C
4.(2025届广东茂名联考,5)如图,O为△ABC内一点,D为BC的中点,OA=a,OB=b,OC=c,则AD=()
A.a+12b+12c
B.-a+12b+12c
C.a-12b-12c
D.-a-12b-12c
答案 B
5.(2024福建福州质检,3)已知e1,e2是两个不共线的向量,若2e1+λe2与μe1+e2是共线向量,则()
A.λμ=?2 B.λμ=?2 C.λμ=2 D.λμ=2
答案 D
6.(2025届江西师大附中月考,2)已知平面向量AB=(-1,2),则与AB方向相同的单位向量是()
A.55,?255 B.255,?55
C.?55,255 D.?12,1
答案 C
7.(2025届黑龙江哈尔滨三中月考,5)在△ABC中,D为BC中点,CP=λCB,AQ=23AB+13AC,若AD=25AP+35AQ,则λ=()
A.12 B.13 C.14 D.15
答案 C
8.(2025届湖南衡阳二中开学考,2)已知O是△ABC所在平面内一点,且2AO=OB+OC,若AO=λAB+μAC,则λ+μ=()
A.23 B.13
C.12 D.14
答案 C
9.(2024湖北部分名校新起点联考,3)已知向量a=(1,2),b=(1,1),向量c满足a∥c,(a+c)∥b,则|c|=()
A.35 B.43 C.10 D.5
答案 D
10.(2025届湖南衡阳一模,12)已知三角形ABC中,E,F是AC边上的中线BD的三等分点,满足DE=EF=FB,记DF=xAB+yCE,则x+y=.
答案 1
能力拔高练
1.(2024河北衡水第三次质检,6)如图,在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,E为AD的中点,F为CO的中点,若EF=xOC+yOD,则x-2y=()
A.1 B.2 C.53 D.32
答案 B
2.(2024湖南师大附中摸底考,5)八卦是中国古老文化中用以解释自然,推演事物关系的工具,太极八卦示意图如图.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH,设其边长为a,中心为O,则下列选项中不正确的是()
A.AB·AC=AB·AD
B.OA·OB+OC·OF=0
C.EG和HD是一对相反向量
D.|AB?BC+CD+EF?FG|=a
答案 C
3.(2024山东菏泽一中月考,3)若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则()
A.|2a|>|2a+b| B.|2a||a+2b|
答案 D
4.(2025届江苏南通期中,7)在?ABCD中,AM=MB,BN=2NC,AP=xAB+(1-x)AD,x∈R.若AP∥MN,则x=()
A.17 B.27
C.37 D.47
答案 C
5.(2025届河南部分名校期中,8)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2-b2-c2=28,点O在△ABC所在的平面内,满足1aOA+1cOB+1bOC=0,且cos∠OAC=13,则a()
A.有最大值10 B.有最小值10
C.有最大值8 D.有最小值8
答案 D
6.(2024河北保定唐县一中月考,7)如图所示,△ABC内有一点G满足GA+GB+GC=0,过点G作一直线分别交AB,AC于点D,E.若AD=xAB,AE=yAC(xy≠0),则1x+1y=()
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 B
7.(2024北京首都师大附中开学考,8)在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,0),B(1,2),动点P满足OP=λOA+μOB,其中λ,μ∈[0,1],λ+μ∈[1,2],则所有点P构成的图形的面积为()
A.1 B.2 C.3 D.23
答案 C
8.(2025届湖南长沙雅礼中学入学考,13)已知向量a=(sinθ,cosθ),b=(3,1),若a∥b,则sin2θ+sin2θ的值为.
答案32
9.(2025届北京一零一中学开学考,13)设D为△ABC内一点,且CD=25CA+15CB,则△ACD与△BCD的面积比为.
答案 1∶2
10.(2025届河北保定阶段调研,14)如图所示,△ABC中,D,E是线段BC的三等分点,F是线段AC的中点,BF与AD,AE分别交于M,N,则平面向量MN用向量CA,CB表示为.
答案MN=320CA?310CB
5.1平面向量的概念及线性运算、基本定理及坐标表示
五年高考
考点1平面向量的概念及线性运算
1.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=()
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
答案 B
2.(2020新高考Ⅱ,3,5分,易)若D为△ABC的边AB的中点,则CB=()
A.2CD?CA B.2CA?CD
C.2CD+CA D.2CA+CD
答案 A
3.(2017课标Ⅱ文,4,5分,易)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()
A.a⊥b
B.|a|=|b|
C.a∥b
D.|a|>|b|
答案 A
4.(2015课标Ⅰ理,7,5分,易)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则()
A.AD=?13AB+43AC
B.AD=13AB?43AC
C.AD=43AB+13AC
D.AD=43AB?13AC
答案 A
考点2平面向量基本定理及坐标表示
1.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=()
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D
2.(2014福建,8,5分,易)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()
A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
答案 B
3.(2021全国乙文,13,5分,易)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=.
答案85
4.(2013北京理,13,5分,易)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ=.
答案 4
5.(2020江苏,13,5分,中)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若PA=mPB+32?mPC(m为常数),则CD的长度是.
答案185或0
三年模拟
基础强化练
1.(2025届安徽A10联盟摸底,2)在△ABC中,CD=2DB,AE=ED,则CE=()
A.16AB?13AC B.16AB?23AC
C.13AB?56AC D.13AB?13AC
答案 C
2.(2024天津第五十五中学阶段测试,4)下列各式中不能化简为AD的是()
A.-(CB+MC)-(DA+BM)
B.-BM?DA+MB
C.(AB?DC)-CB
D.AD-(CD+DC)
答案 B
3.(2025届浙江9+1高中联盟期中,4)在△ABC中,D是BC上一点,满足BD=2DC,M是AD的中点,若BM=λBA+μBC,则λ+μ=()
A.54 B.78 C.56 D.58
答案 C
4.(2025届广东茂名联考,5)如图,O为△ABC内一点,D为BC的中点,OA=a,OB=b,OC=c,则AD=()
A.a+12b+12c
B.-a+12b+12c
C.a-12b-12c
D.-a-12b-12c
答案 B
5.(2024福建福州质检,3)已知e1,e2是两个不共线的向量,若2e1+λe2与μe1+e2是共线向量,则()
A.λμ=?2 B.λμ=?2 C.λμ=2 D.λμ=2
答案 D
6.(2025届江西师大附中月考,2)已知平面向量AB=(-1,2),则与AB方向相同的单位向量是()
A.55,?255 B.255,?55
C.?55,255 D.?12,1
答案 C
7.(2025届黑龙江哈尔滨三中月考,5)在△ABC中,D为BC中点,CP=λCB,AQ=23AB+13AC,若AD=25AP+35AQ,则λ=()
A.12 B.13 C.14 D.15
答案 C
8.(2025届湖南衡阳二中开学考,2)已知O是△ABC所在平面内一点,且2AO=OB+OC,若AO=λAB+μAC,则λ+μ=()
A.23 B.13
C.12 D.14
答案 C
9.(2024湖北部分名校新起点联考,3)已知向量a=(1,2),b=(1,1),向量c满足a∥c,(a+c)∥b,则|c|=()
A.35 B.43 C.10 D.5
答案 D
10.(2025届湖南衡阳一模,12)已知三角形ABC中,E,F是AC边上的中线BD的三等分点,满足DE=EF=FB,记DF=xAB+yCE,则x+y=.
答案 1
能力拔高练
1.(2024河北衡水第三次质检,6)如图,在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,E为AD的中点,F为CO的中点,若EF=xOC+yOD,则x-2y=()
A.1 B.2 C.53 D.32
答案 B
2.(2024湖南师大附中摸底考,5)八卦是中国古老文化中用以解释自然,推演事物关系的工具,太极八卦示意图如图.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH,设其边长为a,中心为O,则下列选项中不正确的是()
A.AB·AC=AB·AD
B.OA·OB+OC·OF=0
C.EG和HD是一对相反向量
D.|AB?BC+CD+EF?FG|=a
答案 C
3.(2024山东菏泽一中月考,3)若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则()
A.|2a|>|2a+b| B.|2a||a+2b|
答案 D
4.(2025届江苏南通期中,7)在?ABCD中,AM=MB,BN=2NC,AP=xAB+(1-x)AD,x∈R.若AP∥MN,则x=()
A.17 B.27
C.37 D.47
答案 C
5.(2025届河南部分名校期中,8)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2-b2-c2=28,点O在△ABC所在的平面内,满足1aOA+1cOB+1bOC=0,且cos∠OAC=13,则a()
A.有最大值10 B.有最小值10
C.有最大值8 D.有最小值8
答案 D
6.(2024河北保定唐县一中月考,7)如图所示,△ABC内有一点G满足GA+GB+GC=0,过点G作一直线分别交AB,AC于点D,E.若AD=xAB,AE=yAC(xy≠0),则1x+1y=()
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 B
7.(2024北京首都师大附中开学考,8)在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,0),B(1,2),动点P满足OP=λOA+μOB,其中λ,μ∈[0,1],λ+μ∈[1,2],则所有点P构成的图形的面积为()
A.1 B.2 C.3 D.23
答案 C
8.(2025届湖南长沙雅礼中学入学考,13)已知向量a=(sinθ,cosθ),b=(3,1),若a∥b,则sin2θ+sin2θ的值为.
答案32
9.(2025届北京一零一中学开学考,13)设D为△ABC内一点,且CD=25CA+15CB,则△ACD与△BCD的面积比为.
答案 1∶2
10.(2025届河北保定阶段调研,14)如图所示,△ABC中,D,E是线段BC的三等分点,F是线段AC的中点,BF与AD,AE分别交于M,N,则平面向量MN用向量CA,CB表示为.
答案MN=320CA?310CB
