5.2平面向量的数量积

五年高考

考点1平面向量的夹角、模与数量积问题

1.(2022全国乙理,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b=()

A.-2 B.-1 C.1 D.2

答案 C

2.(2024新课标Ⅱ,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=()

A.12 B.22 C.32 D.1

答案 B

3.(2024北京,5,4分,易)已知向量a,b,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案 B

4.(2023全国甲理,4,5分,中)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cos=()

A.-45 B.?25 C.25 D.45

答案 D

(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分,中)已知O为坐标原点,点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,

-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则()

A.|OP1|=|OP2|

B.|AP1|=|AP2|

C.OA·OP3=OP1·OP2

D.OA·OP1=OP2·OP3

答案 AC

6.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|=.

答案3



7.(2021新高考Ⅱ,15,5分,易)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=.

答案 -92

考点2平面向量的数量积的应用

1.(2024新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=()

A.-2 B.-1 C.1 D.2

答案 D

2.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则()

A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1

C.λμ=1 D.λμ=-1

答案 D

3.(2020课标Ⅱ文,5,5分,易)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是()

A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b

答案 D

4.(2022新高考Ⅱ,4,5分,易)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t=()

A.-6 B.-5 C.5 D.6

答案 C

5.(2020新高考Ⅰ,7,5分,中)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是()

A.(-2,6) B.(-6,2)

C.(-2,4) D.(-4,6)

答案 A

6.(2024天津,14,5分,难)已知正方形ABCD的边长为1,DE=2EC.若BE=λBA+μBC,其中λ,μ为实数,则λ+μ=;设F是线段BE上的动点,G为线段AF的中点,则AF·DG的最小值为.

答案43;-518







三年模拟

基础强化练

1.(2025届河北唐山摸底,3)已知向量a=(4,3),b=(1,0),则a在b方向上的投影向量为()

A.(1,0) B.(3,0)

C.(4,0) D.(5,0)

答案 C

2.(2025届广东深圳中学开学考,3)已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b夹角的正弦值为()

A.-12 B.?32

C.12 D.32

答案 D

3.(2025届广东佛山四校月考,4)若|a+b|=|a-b|,a=(1,2),b=(m,3),则实数m=()

A.6 B.-6

C.3 D.-3

答案 B

4.(2025届江西萍乡期中,6)已知平面向量a=(m,3),b=(-1,2),m∈R,若(a-b)⊥b,则b在a上的投影向量为()

A.(1,2) B.(1,3)

C.?12,1 D.12,32

答案 D

5.(2025届广东广州三校期中联考,3)已知正方形ABCD的边长为1,设点M、N满足AM=λAB,AN=μAD.若CM·CN=1,则λ2+2μ2的最小值为()

A.2 B.1

C.23 D.34

答案 C

6.(2024福建漳州第一次教学质检,4)已知向量a=(-1,1),b=(2,x),若a⊥b,则|a-b|=()

A.2 B.22 C.10 D.23

答案 C

7.(2024广东深圳罗湖开学模考,3)已知向量a,b满足a⊥(a+4b),b⊥(a+3b),则向量a,b的夹角为()

A.π6 B.π3

C.2π3 D.5π6

答案 D

8.(2025届江苏南通部分学校阶段测,2)已知向量a,b,c满足a≠0,a·b=a·c,a∥(b+c),则()

A.b=c B.b2=c2

C.b⊥c D.b∥c

答案 B

9.(多选)(2025届山东菏泽期中,10)如图,已知△ABC中,B=2π3,AB=BC=2,M是AC的中点,动点P在以AC为直径的半圆弧上.则()



A.2BM=BA+BC

B.BP·BC的最小值为-2

C.BM在BC上的投影向量为13BC

D.若BP=xBA+yBC,则x+y的最大值为1+3

答案 ABD

10.(2025届浙江Z20名校联盟联考,12)已知a,b是两个单位向量,若(3a-b)⊥b,则向量a,b夹角的余弦值为.

答案13

11.(2025届湖南长沙一中月考,13)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且b在a上的投影向量为-14a,则|a+b|为.

答案3

能力拔高练

1.(2024浙江杭州二中第一次月考,5)在平面直角坐标系xOy中,已知P(3,4),长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上,则PA·PB的取值范围是()

A.[2,6] B.[3,5]

C.[4,6] D.[15,35]

答案 D

(2025届黑龙江哈尔滨三中月考,8)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,且cos=-12,

|c-a+b|=1,则b·(a-c)的最小值为()

A.-1 B.0 C.1 D.2

答案 B

3.(多选)(2024广东深圳阶段测试,10)重庆荣昌折扇是中国名扇之一,其精雅宜士人,其华灿宜艳女,深受各界人士喜爱.古人曾有诗赞曰:“开合清风纸半张,随机舒卷岂寻常;金环并束龙腰细,玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图中的扇形COD,其中∠COD=2π3,OC=3OA=3,动点P在CD上(含端点),连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q,且OQ=xOC+yOD,则下列说法正确的是()



A.若y=x,则x+y=23

B.若y=2x,则OA·OP=0

C.AB·PQ≥-2

D.PA·PB≥112

答案 ABD

4.(多选)(2025届河南部分名校期中,10)如图,△ABC是边长为1的等边三角形,BD=13BC,点P在以CD为直径的半圆上,设AP=xAB+yAC,则()



A.y的值不可能大于1

B.AD=13AC+23AB

C.AP·AB的最小值为13

D.AP·AB的最大值为1

答案 BD

5.(多选)(2024山东潍坊二模,11)已知向量a,b,c为平面向量,|a|=1,|b|=2,a·b=0,|c-a|=12,则()

A.1≤|c|≤32

...