6 2 等差数列——2026版53高考总复习精练册word 人教版
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6.2等差数列
五年高考
考点1等差数列及其前n项和
1.(2024全国甲文,5,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=1,则a3+a7=()
A.19 B.29 C.?13 D.23
答案 B
2.(2024全国甲理,4,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1=()
A.72 B.73
C.-13 D.?711
答案 B
3.(2019课标Ⅰ理,9,5分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=12n2-2n
答案 A
4.(2023全国甲文,5,5分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=()
A.25 B.22 C.20 D.15
答案 C
5.(2022新高考Ⅱ,3,5分,中)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=()
A.0.75 B.0.8
C.0.85 D.0.9
答案 D
6.(2021北京,6,4分,中)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长a1,a2,a3,a4,a5(单位:cm)成等差数列,对应的宽为b1,b2,b3,b4,b5(单位:cm),且长与宽之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,则b3=()
A.64 B.96 C.128 D.160
答案 C
7.(2024新课标Ⅱ,12,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=.
答案 95
8.(2020课标Ⅱ文,14,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.
答案 25
9.(2019北京理,10,5分,中)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.
答案 0;-10
10.(2020新高考Ⅰ,14,5分,中)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为.
答案 3n2-2n
11.(2019课标Ⅰ文,18,12分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
解析(1)设{an}的公差为d.
由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(n?9)d2.由a1>0知d0,当n≥8,n∈N*时,an1,令bn=n2+nan,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
解析(1)∵3a2=3a1+a3,∴3(a1+d)=3a1+a1+2d,
∴a1=d>1,∴S3=a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=6a1,
又∵bn=n2+nan,∴b1=2a1,b2=6a2=6a1+d=3a1,b3=12a3=12a1+2d=4a1,∴T3=b1+b2+b3=9a1,
∴S3+T3=6a1+9a1=21,解得a1=3或a1=12(舍),∴an=3n.
(2)∵{bn}为等差数列,∴2b2=b1+b3,即12a2=2a1+12a3,
即6a1+d=1a1+6a1+2d,即a12-3a1d+2d2=0,
∴a1=2d或a1=d.
当a1=2d时,an=(n+1)d,bn=nd,
∴S99=(2d+100d)×992=99×51d,
T99=1d·(1+99)×992=99×50d,
又∵S99-T99=99,∴99×51d-99×50·1d=99,
∴51d-50d=1,解得d=1或d=-5051,
又∵d>1,∴a1≠2d.
当a1=d时,an=nd,bn=n+1d,∴S99=(1+99)×99d2=50×99d,
T99=1d·(2+100)×992=51×99d,
又∵S99-T99=99,∴50×99d-51×99d=99,
∴50d-51d=1,解得d=5150或d=-1,又∵d>1,∴d=5150.
综上,d=5150.
考点2等差数列的性质
1.(2020浙江,7,4分,中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且a1d≤1.记b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能成立的是()
A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6
C.a42=a2a8 D.b42=b2b8
答案 D
2.(2020北京,8,4分,难)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn}()
A.有最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项
D.无最大项,无最小项
答案 B
3.(2021新高考Ⅱ,17,10分,中)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2·a4=S4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求使得Sn>an的n的最小值.
解析(1)解法一:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则a3=S5?a1+2d=5a1+10d?4a1+8d=0?a1+2d=0?a1=-2d,①
a2·a4=S4?(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,②
将①代入②得-d2=-2d?d=0(舍)或d=2,∴a1=-2d=-4,∴an=-4+(n-1)×2=2n-6.
解法二:由等差数列的性质可得S5=5a3,则a3=5a3,∴a3=0,
设等差数列的公差为d,
从而有a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,
S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,
从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,
所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-6.
(2)由(1)知an=2n-6,a1=2×1-6=-4.
Sn=na1+n(n?1)2d=-4n+n(n-1)=n2-5n.
Sn>an?n2-5n>2n-6?n2-7n+6>0?(n-1)(n-6)>0,
解得n6,又n∈N*,∴n的最小值为7.
4.(2022浙江,20,15分,中)已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*).
(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;
(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.
解析(1)易得an=(n-1)d-1,n∈N*,S4=a1+a2+a3+a4=4a1+6d=6d-4.
又S4-2a2a3+6=0,∴6d-4-2(d-1)(2d-1)+6=0,
∴d=3或d=0(舍),则an=3n-4,n∈N*,
故Sn=3(1+2+…+n)-4n=3n(n+1)?8n2=3n2?5n2,n∈N*.
(2)由(1)知an=(n-1)d-1,n∈N*,
依题意得[cn+(n-1)d-1][15cn+(n+1)d-1]=(4cn+nd-1)2,
即15cn2+[(16n-14)d-16]cn+(n2-1)d2-2nd+1=16cn2+8(nd-1)·cn+...
五年高考
考点1等差数列及其前n项和
1.(2024全国甲文,5,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=1,则a3+a7=()
A.19 B.29 C.?13 D.23
答案 B
2.(2024全国甲理,4,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1=()
A.72 B.73
C.-13 D.?711
答案 B
3.(2019课标Ⅰ理,9,5分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=12n2-2n
答案 A
4.(2023全国甲文,5,5分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=()
A.25 B.22 C.20 D.15
答案 C
5.(2022新高考Ⅱ,3,5分,中)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=()
A.0.75 B.0.8
C.0.85 D.0.9
答案 D
6.(2021北京,6,4分,中)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长a1,a2,a3,a4,a5(单位:cm)成等差数列,对应的宽为b1,b2,b3,b4,b5(单位:cm),且长与宽之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,则b3=()
A.64 B.96 C.128 D.160
答案 C
7.(2024新课标Ⅱ,12,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=.
答案 95
8.(2020课标Ⅱ文,14,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.
答案 25
9.(2019北京理,10,5分,中)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.
答案 0;-10
10.(2020新高考Ⅰ,14,5分,中)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为.
答案 3n2-2n
11.(2019课标Ⅰ文,18,12分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
解析(1)设{an}的公差为d.
由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(n?9)d2.由a1>0知d0,当n≥8,n∈N*时,an1,令bn=n2+nan,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
解析(1)∵3a2=3a1+a3,∴3(a1+d)=3a1+a1+2d,
∴a1=d>1,∴S3=a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=6a1,
又∵bn=n2+nan,∴b1=2a1,b2=6a2=6a1+d=3a1,b3=12a3=12a1+2d=4a1,∴T3=b1+b2+b3=9a1,
∴S3+T3=6a1+9a1=21,解得a1=3或a1=12(舍),∴an=3n.
(2)∵{bn}为等差数列,∴2b2=b1+b3,即12a2=2a1+12a3,
即6a1+d=1a1+6a1+2d,即a12-3a1d+2d2=0,
∴a1=2d或a1=d.
当a1=2d时,an=(n+1)d,bn=nd,
∴S99=(2d+100d)×992=99×51d,
T99=1d·(1+99)×992=99×50d,
又∵S99-T99=99,∴99×51d-99×50·1d=99,
∴51d-50d=1,解得d=1或d=-5051,
又∵d>1,∴a1≠2d.
当a1=d时,an=nd,bn=n+1d,∴S99=(1+99)×99d2=50×99d,
T99=1d·(2+100)×992=51×99d,
又∵S99-T99=99,∴50×99d-51×99d=99,
∴50d-51d=1,解得d=5150或d=-1,又∵d>1,∴d=5150.
综上,d=5150.
考点2等差数列的性质
1.(2020浙江,7,4分,中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且a1d≤1.记b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能成立的是()
A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6
C.a42=a2a8 D.b42=b2b8
答案 D
2.(2020北京,8,4分,难)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn}()
A.有最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项
D.无最大项,无最小项
答案 B
3.(2021新高考Ⅱ,17,10分,中)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2·a4=S4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求使得Sn>an的n的最小值.
解析(1)解法一:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则a3=S5?a1+2d=5a1+10d?4a1+8d=0?a1+2d=0?a1=-2d,①
a2·a4=S4?(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,②
将①代入②得-d2=-2d?d=0(舍)或d=2,∴a1=-2d=-4,∴an=-4+(n-1)×2=2n-6.
解法二:由等差数列的性质可得S5=5a3,则a3=5a3,∴a3=0,
设等差数列的公差为d,
从而有a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,
S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,
从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,
所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-6.
(2)由(1)知an=2n-6,a1=2×1-6=-4.
Sn=na1+n(n?1)2d=-4n+n(n-1)=n2-5n.
Sn>an?n2-5n>2n-6?n2-7n+6>0?(n-1)(n-6)>0,
解得n6,又n∈N*,∴n的最小值为7.
4.(2022浙江,20,15分,中)已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*).
(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;
(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.
解析(1)易得an=(n-1)d-1,n∈N*,S4=a1+a2+a3+a4=4a1+6d=6d-4.
又S4-2a2a3+6=0,∴6d-4-2(d-1)(2d-1)+6=0,
∴d=3或d=0(舍),则an=3n-4,n∈N*,
故Sn=3(1+2+…+n)-4n=3n(n+1)?8n2=3n2?5n2,n∈N*.
(2)由(1)知an=(n-1)d-1,n∈N*,
依题意得[cn+(n-1)d-1][15cn+(n+1)d-1]=(4cn+nd-1)2,
即15cn2+[(16n-14)d-16]cn+(n2-1)d2-2nd+1=16cn2+8(nd-1)·cn+...
