6.4数列求和

五年高考

考点1错位相减法求和

(2021新高考Ⅰ,16,5分,难)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×

12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到

5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次,那么k=1nSk=dm2.

答案 5;240×3?n+32n

2.(2024全国甲理,18,12分,中)记Sn为数列{an}的前n项和,已知4Sn=3an+4.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn.

解析(1)∵4Sn=3an+4①,

∴当n=1时,4S1=4a1=3a1+4,得a1=4,

当n≥2时,4Sn-1=3an-1+4②,

由①-②得,4an=3an-3an-1,

∴an=-3an-1,

∴数列{an}是首项为4,公比为-3的等比数列.

∴an=4×(-3)n-1.

(2)由(1)得bn=(-1)n-1nan=4n·3n-1,

∴Tn=4×30+4×2×31+4×3×32+…+4(n-1)·3n-2+4n·3n-1③,

3Tn=4×31+4×2×32+4×3×33+…+4(n-1)·3n-1+4n·3n④,

③-④得-2Tn=4+4×31+4×32+…+4×3n-1-4n·3n,

∴-2Tn=4+4·3(1?3n?1)1?3-4n·3n,

∴-2Tn=4+(2-4n)·3n-6=-2+(2-4n)3n,

∴Tn=1+(2n-1)3n.

3.(2023全国甲理,17,12分,中)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求数列an+12n的前n项和Tn.

解析(1)当n=1时,2a1=a1,即a1=0,

当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-1,①

又2Sn=nan,②

∴②-①得2an=nan-(n-1)an-1,

即(n-2)an=(n-1)an-1.当n=2时,上式成立.

当n≥3时,anan?1=n?1n?2,∴an=a3a2·a4a3·a5a4·…·anan?1·a2=21×32×43·…·n?1n?2·1=n-1,即an=n-1(n≥3).

当n=1时,a1=0符合上式,当n=2时,a2=1符合上式.

综上,{an}的通项公式为an=n-1,n∈N*.

(2)由(1)知an+1=n,设bn=an+12n=n2n=n·12n.

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=1×121+2×122+3×123+…+n·12n,①

12Tn=1×122+2×123+3×124+…+n·12n+1.②

①-②得12Tn=121+122+123+…+12n?n·12n+1=121?12n1?12?n·12n+1

=1-12n?n·12n+1=1?12n1+12n,

∴Tn=2-(n+2)·12n.

故数列an+12n的前n项和Tn=2-(n+2)·12n.

4.(2020课标Ⅲ理,17,10分,中)设数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n.

(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;

(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.

解析(1)a2=5,a3=7.

猜想an=2n+1.由已知可得,

an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],

an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)],

……

a2-5=3(a1-3).

因为a1=3,所以an=2n+1.

(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,

所以Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n.①

从而2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1.②

①-②得-Sn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1.

所以Sn=(2n-1)2n+1+2.

考点2裂项相消法求和

(2022新高考Ⅰ,17,10分,中)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列.

(1)求{an}的通项公式;

(2)证明:1a1+1a2+…+1an1),依题意有a1q+a1q3=20,a1q2=8,解得a1=2,q=2或a1=32,q=12(舍去),

所以an=2n,所以数列{an}的通项公式为an=2n.(5分)

(2)由于21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,

所以b1对应的区间为(0,1],则b1=0;

b2,b3对应的区间分别为(0,2],(0,3],

则b2=b3=1,即有2个1;

b4,b5,b6,b7对应的区间分别为(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],则b4=b5=b6=b7=2,即有22个2;

b8,b9,…,b15对应的区间分别为(0,8],(0,9],…,(0,15],则b8=b9=…=b15=3,即有23个3;

b16,b17,…,b31对应的区间分别为(0,16],(0,17],…,(0,31],则b16=b17=…=b31=4,即有24个4;(8分)

b32,b33,…,b63对应的区间分别为(0,32],(0,33],…,(0,63],则b32=b33=…=b63=5,即有25个5;

b64,b65,…,b100对应的区间分别为(0,64],(0,65],…,(0,100],则b64=b65=…=b100=6,即有37个6.(10分)

所以S100=1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×37=480.

(12分)

三年模拟

基础强化练

1.(2025届山东济宁市实验中学开学考,7)f(x)=2x2x?1,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求得f12023+f22023+…+f20222023=()

A.1010 B.1011 C.2020 D.2022

答案 D

2.(2025届重庆一中月考,6)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,Sn+1+Sn-1=2Sn+log21+1n(n≥2,n∈N*),则a8=()

A.22 B.3 C.4 D.42

答案 C

3.(2025届辽宁丹东四中开学考试,6)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,a2为整数,且Sn≤S5,则数列2anan+1的前9项和为()

A.-29 B.29 C.?27 D.27

答案 A

4.(2025届江苏苏州期中,8)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2an+2n?2,n为奇数,an?n,n为偶数,则S18的值为()

A.1023 B.1461

C.1533 D.1955

答案 B

5.(多选)(2024湖北武汉二中联考,9)在公差不为零的等差数列{an}中,已知其前n项和为Sn,S9=81,且a2,a5,a14成等比数列,则下列结论正确的是()

A.an=2n+1

B.(-1)1a1+(-1)2a2+…+(-1)100a100=100

C.Sn=n2

D.设数列{2n·an+1}的前n项和为Tn,则Tn=n·2n+1+2

答案 BC

6.(2025届北京二中期中,13)设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=2an-1,则a6+a9a2+a5=.

答案 16

7.(2025届江苏南京一中阶段性检测,15)已知{an}是各项均为正数,公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且a2=3,a1,a3,a7成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)定义在数列{an}中,使log3(an+1)为整数的an叫做“调和数”,求在区间[1,2024]内所有“调和数”之和.

解析(1)设{an}的公差为d.因为a1,a3,a7成等比数列,

所以a32=a1·a7...