7.3直线、平面平行的判定与性质

五年高考

考点直线、平面平行的判定与性质

1.(2022全国乙,文9,理7,5分,中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则()

A.平面B1EF⊥平面BDD1

B.平面B1EF⊥平面A1BD

C.平面B1EF∥平面A1AC

D.平面B1EF∥平面A1C1D

答案 A

2.(2021浙江,6,4分,中)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则()



A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD

B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1

C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD

D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1

答案 A

3.(2024全国甲理,10,5分,中)设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m.下述四个命题:

①若m∥n,则n∥α或n∥β

②若m⊥n,则n⊥α或n⊥β

③若n∥α且n∥β,则m∥n

④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n

其中所有真命题的编号是()

A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④

答案 A

4.(2024新课标Ⅰ,17,15分,中)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=3.

(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;

(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为427,求AD.



解析(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,∴PA⊥AD.又AD⊥PB,PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB,∴AD⊥平面PAB.又AB?平面PAB,∴AD⊥AB.

在△ABC中,因为AC=2,BC=1,AB=3,∴AC2=BC2+AB2,∴AB⊥BC.又AD⊥AB,且AD,AB,BC都在平面ABCD内,∴AD∥BC.又AD?平面PBC,BC?平面PBC,∴AD∥平面PBC.

(2)以DA,DC所在直线分别为x轴,y轴,过D作平面ABCD的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0).



设AD=t,t>0,则DC=4?t2,A(t,0,0),P(t,0,2),C(0,4?t2,0),则AC=(-t,4?t2,0),AP=(0,0,2),DP=(t,0,2),DC=(0,4?t2,0),

设平面ACP的法向量为n1=(x1,y1,z1),

则n1·AC=0,n1·AP=0,即?tx1+4?t2y1=0,2z1=0,

令x1=4?t2,则y1=t,则n1=(4?t2,t,0),

设平面CPD的法向量为n2=(x2,y2,z2),

则n2·DP=0,n2·DC=0,∴tx2+2z2=0,4?t2y2=0,

令z2=t,则x2=-2,则n2=(-2,0,t),

∵二面角A-CP-D的正弦值为427,且由图可知二面角A-CP-D为锐二面角,∴二面角A-CP-D的余弦值为1?4272=77,

∴77=|cos|=|n1·n2||n1||n2|=24?t22t2+4,

∴t=3(舍负),∴AD=3.

5.(2022新高考Ⅱ,20,12分,中)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点.

(1)证明:OE∥平面PAC;

(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.



解析(1)证法一:连接OA,

∵PO是三棱锥P-ABC的高,∴PO⊥平面ABC,

∴PO⊥OA,PO⊥OB,∴∠POA=∠POB=90°,

又PA=PB,PO=PO,∴△POA≌△POB,

∴OA=OB,

取AB的中点D,连接OD、DE,则OD⊥AB,



又∵AB⊥AC,∴OD∥AC,

又∵OD?平面PAC,AC?平面PAC,∴OD∥平面PAC,

又D、E分别为AB、PB的中点,∴DE∥PA,

又∵DE?平面PAC,PA?平面PAC,∴DE∥平面PAC,

又OD、DE?平面ODE,OD∩DE=D,∴平面ODE∥平面PAC,

又OE?平面ODE,∴OE∥平面PAC.

证法二:连接OA,∵PO是三棱锥P-ABC的高,

∴PO⊥平面ABC,∴PO⊥OA,PO⊥OB,

∴∠POA=∠POB=90°,又PA=PB,PO=PO,

∴△POA≌△POB,∴OA=OB,

延长BO交AC于点F,连接PF,

易知在Rt△ABF中,O为BF的中点,

∵E为PB的中点,∴OE∥PF,

又OE?平面PAC,PF?平面PAC,∴OE∥平面PAC.

(2)取AB的中点M,连接OM,OA,以M为坐标原点,MB,MO所在直线分别为x,y轴,过点M且与平面ABC垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.



∵PO=3,PA=5,∴结合(1)可知OA=OB=4,又∠ABO=∠CBO=30°,∴OM=2,MB=23,

∴P(0,2,3),B(23,0,0),A(-23,0,0),E3,1,32,

∵AB⊥AC,∠CBA=60°,AB=43,

∴AC=12,C(-23,12,0).

设平面AEB的法向量为n1=(x1,y1,z1),

AB=(43,0,0),AE=33,1,32,

∴AB·n1=0,AE·n1=0,即x1=0,33x1+y1+32z1=0,

令y1=3,则z1=-2,∴n1=(0,3,-2).

设平面AEC的法向量为n2=(x2,y2,z2),

AC=(0,12,0),

∴AC·n2=0,AE·n2=0,即y2=0,33x2+y2+32z2=0,

令x2=3,则z2=-6,∴n2=(3,0,-6),

∴cos=n1·n2|n1|·|n2|=1213×39=4313,

设二面角C-AE-B的平面角为θ,则sinθ=1?cos2θ=1113,

∴二面角C-AE-B的正弦值为1113.





三年模拟

基础强化练

1.(2025届湖南长沙长郡中学调研,2)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则m∥α的一个充分条件是()

A.m∥n,n∥α

B.m∥β,α∥β

C.m⊥n,n⊥α,m?α

D.m∩n=A,n∥α,m?α

答案 C

2.(2025届江苏常州学情调研,3)在空间中,设m,n为两条不同直线,α,β为两个不同平面,则下列命题正确的是()

A.若m∥α且α∥β,则m∥β

B.若m、n是异面直线,m?α,m∥β,n?β,n∥α,则α∥β

C.若α⊥β,m?α,n?β,则m⊥n

D.若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n∥β

答案 B

3.(2024河南安阳、焦作二模,5)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为梯形,AB=BB1=32C1D1=6,CD∥AB,BM=λMB1(0|=|A1E·m||A1E||m|=614×3=147,

所以直线A1E与平面A1CD所成的角的正弦值为147.

能力拔高练

1.(多选)(2025届山东青岛五十八中期中,11)如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1C1,C1D1的中点,P是正方形A1B1C1D1内(包含边界)的动点,则下列结论正确的是()



A.若DP∥平面CEF,则点P的轨迹长度为22

B.若AP=17,则点P的轨迹长度为2π

C.若P是正方形A1B1C1D1的中心,Q在线段EF上,则PQ+CQ的最小值为42

D.若P是棱A1B1的中点,则三棱锥P-CEF的外接球的表面积是41π

答案 ACD

2.(2025届北京日坛中学调研,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,CD⊥AP,△PCD为等腰直角三角形,PD=CD=2,平面PBC交平面PAD于...