8.2椭圆

五年高考

考点1椭圆的定义和标准方程

1.(2024新课标Ⅱ,5,5分,易)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为()

A.x216+y24=1(y>0)

B.x216+y28=1(y>0)

C.y216+x24=1(y>0)

D.y216+x28=1(y>0)

答案 A

2.(2021新高考Ⅰ,5,5分,易)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为()

A.13 B.12 C.9 D.6

答案 C

3.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1·BA2=-1,则C的方程为()

A.x218+y216=1 B.x29+y28=1

C.x23+y22=1 D.x22+y2=1

答案 B

4.(2023全国甲文,7,5分,中)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PF1|·|PF2|=()

A.1 B.2 C.4 D.5

答案 B

5.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:x29+y26=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=35,则|OP|=()

A.135 B.302 C.145 D.352

答案 B

6.(2020课标Ⅱ理,19,12分,中)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.

(1)求C1的离心率;

(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.

解析(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2?b2.

不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.

由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3×ca=2?2ca2,

解得ca=-2(舍去)或ca=12.所以C1的离心率为12.

(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.

设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x03c=1.①

由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得(5?c)24c2+4(5?c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.

所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.

考点2椭圆的几何性质

1.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a=()

A.233 B.2 C.3 D.6

答案 A

2.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=()

A.23 B.23 C.?23 D.?23

答案 C

3.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为()

A.32 B.22 C.12 D.13

答案 A

4.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是()

A.22,1 B.12,1 C.0,22 D.0,12

答案 C

5.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆x?12c2+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是,椭圆的离心率是.

答案255;55

6.(2022新高考Ⅱ,16,5分,难)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则l的方程为.

答案x+2y?22=0

7.(2022新高考Ⅰ,16,5分,难)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是.

答案 13

8.(2022天津,19,15分,难)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,且满足|BF||AB|=32.

(1)求椭圆的离心率e;

(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴交于点N(N异于M),记点O为坐标原点,若|OM|=|ON|,且△OMN的面积为3,求椭圆的标准方程.

解析(1)∵|BF|=c2+b2=a,|AB|=a2+b2,

∴|BF||AB|=aa2+b2=32,解得a=3b,

∴c=a2?b2=2b,∴离心率e=ca=63.

(2)由(1)知椭圆方程为x23b2+y2b2=1.

由题可知直线l的斜率存在且不为0,设l:y=kx+m(k≠0),由椭圆的对称性,不妨设k0,如图.则有|OM|=|ON|=m.



联立得x23b2+y2b2=1,y=kx+m,

则有(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3b2=0,

Δ=0?3b2k2+b2-m2=0,

由根与系数的关系得xM=-3mk3k2+1,代入直线l的方程,有yM=m3k2+1.∴|OM|=xM2+yM2=m9k2+13k2+1=m,解得k=-33,

设直线OM的倾斜角为θ,

∴kOM=tanθ=yMxM=?13k=33,∴θ=30°,故∠NOM=60°,

∴S△OMN=12m2sin∠NOM=34m2=3,解得m=2,

∴3b2×13+b2-4=0,可得b2=2,

∴椭圆的标准方程为x26+y22=1.

三年模拟

基础强化练

1.(2025届湖南常德开学考,2)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为()



A.x236+y216=1

B.x240+y215=1

C.x249+y224=1

D.x245+y220=1

答案 C

2.(2025届安徽省重点高中联盟联考,4)已知椭圆C:x2λ+y24=1(λ>0且λ≠4),则“C的离心率e=22”是“λ=8”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案 B

3.(2025届江苏南京中华中学开学考,7)已知P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2是C的两个焦点,PF1·PF2=0,点Q在∠F1PF2的平分线上,O为原点,OQ∥PF1,且|OQ|=2b.则C的离心率为()

A.306 B.56 C.63 D.23

答案 A

4.(2025届浙江L16联盟适应考,4)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点到直线l:x-y-4=0的距离之差为2,则E的焦距是()

A.2 B.2

C.22 D.4

答案 C

5.(多选)(2025届江苏南通如皋部分学校开学诊断,11)已知椭圆y2a...